Antwoord:
Kijk hieronder voor antwoorden
Uitleg:
Voor # X = 0 # wij hebben
#f (0) -e ^ (- f (0)) = - 1 #
We beschouwen een nieuwe functie #G (x) = x-e ^ (- x) + 1 #, #X##in## RR #
#G (0) = 0 #, #G '(x) = 1 + e ^ (- x)> 0 #, #X##in## RR #
Als gevolg # G # neemt toe in # RR #. Dus omdat het strikt toeneemt # G # is "#1-1#" (een op een)
Zo, #f (0) -e ^ (- f (0)) + 1 = 0 # #<=># #G (f (0)) = g (0) # #<=># #f (0) = 0 #
We moeten dat laten zien # X / 2 <##f (x) <##xf '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<## (F (x) -f (0)) / (x-0) <##f '(x) #
- # F # is continu bij # 0, x #
- # F # is differentieerbaar in # (0, x) #
Volgens de gemiddelde-waardestelling is dat wel zo # X_0 ##in## (0, x) #
waarvoor #f (x_0) = (f (x) -f (0)) / (x-0) #
#f (x) -e ^ (- f (x)) = x-1 #, #X##in## RR # zo
door beide delen te onderscheiden die we krijgen
#f '(x) -e ^ (- f (x)) (- f (x)) = 1 # #<=># #f '(x) + f' (x) e ^ (- f (x)) = 1 # #<=>#
#f '(x) (1 + e ^ (- f (x))) = 1 # # <=> ^ (1 + e ^ (- f (x))> 0) #
#f '(x) = 1 / (1 + e ^ (- f (x))) #
De functie # 1 / (1 + e ^ (- f (x))) # is differentieerbaar. Als gevolg # F '# is differentieerbaar en # F # is 2 keer differentieerbaar met
#f '' (x) = - ((1 + e ^ (- f (x)))) / (1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #=#
# (F '(x) e ^ (- f (x))) / ((1 + e ^ (- f (x))) ^ 2 # #>0#, #X##in## RR #
-> # F '# neemt in strikt toe # RR # wat betekent
# X_0 ##in## (0, x) # #<=># #0<## X_0 <##X# #<=>#
#f '(0) <##f '(x_0) <##f '(x) # #<=>#
# 1 / (1 + e ^ (- f (0))) ##<##f (x) / x <##f '(x) # #<=>#
#1/2<##f (x) / x <##f '(x) # # <=> ^ (X> 0) #
# X / 2 <##f (x) <##xf '(x) #
