Wat is het orthocentrum van een driehoek met hoeken op (5, 2), (3, 7) en (4, 9) #?

Antwoord:

#(-29/9, 55/9)#

Uitleg:

Zoek het orthocentrum van de driehoek met hoekpunten van #(5,2), (3,7),(4,9)#.

Ik zal de driehoek een naam geven # DeltaABC # met # A = (5,2) #, # B = (3,7) # en # C = (4,9) #

Het orthocenter is de kruising van de hoogten van een driehoek.

Een hoogte is een lijnsegment dat door een hoekpunt van een driehoek loopt en loodrecht op de andere kant staat.

Als je de kruising van twee van de drie hoogten vindt, is dit het orthocentrum, omdat de derde hoogte ook de andere op dit punt zal kruisen.

Om de kruising van twee hoogten te vinden, moet je eerst de vergelijkingen vinden van de twee lijnen die de hoogten voorstellen en ze vervolgens oplossen in een systeem van vergelijkingen om hun kruising te vinden.

Eerst vinden we de helling van het lijnstuk ertussen #A en B # met behulp van de hellingformule # M = frac {y_2-y_1} {x_2-x_1} #

#m_ (AB) = frac {7-2} {3-5} = - 5/2 #

De helling een lijn loodrecht op dit lijnsegment is het omgekeerde teken reciprocraal van #-5/2#, dat is #2/5#.

De formule voor punthelling gebruiken # Y-y_1 = m (x-x_1) # we kunnen de vergelijking van hoogte vinden vanaf vertex # C # Kant kiezen # AB #.

# Y-9 = 2/5 (x-4) #

# y-9 = 2/5 x -8 / 5 #

# -2 / 5x + y = 37 / 5color (wit) (aaa) # of

# y = 2/5 x + 37/5 #

Zoek de helling van een van de andere zijden van de driehoek om de vergelijking van een tweede hoogte te vinden. Laten we BC kiezen.

#m_ (BC) = frac {9-7} {4-3} = 01/02 = 2 #

De loodrechte helling is #-1/2#.

Om de vergelijking van de hoogte van het toppunt te vinden #EEN# Kant kiezen # BC #, gebruik opnieuw de formule met punthelling.

# Y2 = -1 / 2 (x-5) #

# y-2 = -1 / 2x + 5/2 #

# 1/2 x + y = 9/2 #

Het systeem van vergelijkingen is

#color (wit) (a ^ 2) 1/2 x + y = 9/2 #

# -2 / 5x + y = 37/5 #

Het oplossen van dit systeem levert op #(-29/9, 55/9)#