Hoe gebruik je de binomiale reeks om sqrt (1 + x) uit te breiden?

Antwoord:

#sqrt (1 + x) = (1 + x) ^ (1/2) = som (http: // 2) _k / (k!) x ^ k # met #x in CC #

Gebruik de generalisatie van de binomiale formule voor complexe getallen.

Uitleg:

Er is een generalisatie van de binomiale formule naar de complexe getallen.

De algemene binomiale reeksenformule lijkt te zijn # (1 + z) ^ r = sum ((r) _k) / (k!) Z ^ k # met # (r) _k = r (r-1) (r-2) … (r-k + 1) # (volgens Wikipedia). Laten we het toepassen op je expressie.

Dit is een machtsserie, dus als we kansen willen hebben dat dit niet uiteenloopt, moeten we het instellen #absx <1 # en dit is hoe je je uitbreidt #sqrt (1 + x) # met de binomiale reeks.

Ik ga niet aantonen dat de formule waar is, maar het is niet te moeilijk, je moet gewoon zien dat de complexe functie gedefinieerd wordt door # (1 + z) ^ r # is holomorfisch op de eenheidsschijf, bereken elke afgeleide ervan op 0, en dit geeft je de Taylor-formule van de functie, wat betekent dat je het kunt ontwikkelen als een vermogensreeks op de eenheidsschijf omdat #absz <1 #, vandaar het resultaat.