Hoe gebruik je de binomiale reeks om sqrt (z ^ 2-1) uit te breiden?

Antwoord:

#sqrt (z ^ 2-1) = i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #

Uitleg:

Ik zou best een dubbele controle willen, omdat ik als natuurkundestudent zelden verder kom # (1 + x) ^ n ~~ 1 + nx # voor kleine x dus ik ben een beetje roestig. De binomiale reeks is een gespecialiseerd geval van de binomiale stelling waarin staat dat

# (1 + x) ^ n = sum_ (k = 0) ^ (oo) ((n), (k)) x ^ k #

Met # ((n), (k)) = (n (n-1) (n-2) … (n-k + 1)) / (k!) #

Wat we hebben is # (Z ^ 2-1) ^ (1/2) #, dit is niet de juiste vorm. Om dit recht te zetten, herinner je dat # i ^ 2 = -1 # Dus we hebben:

# (i ^ 2 (1-z ^ 2)) ^ (1/2) = i (1-z ^ 2) ^ (1/2) #

Dit is nu in de juiste vorm met #x = -z ^ 2 #

Daarom zal de uitbreiding zijn:

#i 1 -1 / 2z ^ 2 + (1/2 (-1/2)) / 2z ^ 4 - (1/2 (-1/2) (- 3/2)) / 6z ^ 6 +… #

#i 1-1 / 2z ^ 2 - 1 / 8z ^ 4 - 1 / 16z ^ 6 + … #