Waarom bestaan er geen factories voor negatieve getallen?

Antwoord:

Er zou een tegenspraak zijn met zijn functie als deze bestond.

Uitleg:

Een van de belangrijkste praktische toepassingen van de faculteit is om u het aantal manieren te geven om objecten te permuteren. Je kunt niet permuteren #-2# objecten omdat je niet minder dan hebt #0# voorwerpen!

Antwoord:

Het hangt ervan af wat je bedoelt …

Uitleg:

Factoria worden voor hele getallen als volgt gedefinieerd:

#0! = 1#

# (N + 1)! = (n + 1) n! #

Dit stelt ons in staat om te definiëren wat we bedoelen met "Factorieel" voor een niet-negatief geheel getal.

Hoe kan deze definitie worden uitgebreid tot andere nummers?

Gamma-functie

Is er een continue functie die ons in staat stelt om "samen te komen" en "Factorieel" te definiëren voor elk niet-negatief reëel getal?

Ja.

#Gamma (t) = int_0 ^ oo x ^ (t-1) e ^ (- x) dx #

Integratie door delen laat dat zien #Gamma (t + 1) = t Gamma (t) #

Voor positieve gehele getallen # N # we vinden #Gamma (n) = (n-1)! #

We kunnen de definitie van uitbreiden #Gamma (t) # naar negatieve nummers met #Gamma (t) = (Gamma (t + 1)) / t #, behalve in het geval #t = 0 #.

Helaas betekent dit dat #Gamma (t) # is niet gedefinieerd wanneer # T # is nul of een negatief geheel getal. De #Gamma# functie heeft een simpele paal op #0# en negatieve gehele getallen.

Andere opties

Zijn er andere uitbreidingen van "Factorial" die wel waarden voor negatieve gehele getallen hebben?

Ja.

De Romeinse Factorial is als volgt gedefinieerd:

#stackrel () (| __n ~ |!) = {(n !, if n> = 0), ((-1) ^ (- n-1) / ((- n-1)!), if n < 0):} #

Dit is genoemd naar een wiskundige S. Roman, niet naar de Romeinen en wordt gebruikt om een handige notatie te geven voor de coëfficiënten van de harmonische logaritme.