Wat is de projectie van (i -2j + 3k) op (3i + 2j - 3k)?

Antwoord:

#proj_vec v vec u = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #

Uitleg:

Om het gemakkelijker te maken om ernaar te verwijzen, laten we de eerste vector noemen #vec u # en de tweede #vec v #. We willen het project van #vec u # naar #vec v #:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v #

Dat is, in woorden, de projectie van vector #vec u # op vector #vec v # is het puntproduct van de twee vectoren, gedeeld door het kwadraat van de lengte van #vec v # keer vector #vec v #. Merk op dat het stuk binnen de haakjes een scalaire waarde is die ons vertelt hoe ver in de richting van #vec v # de projectie reikt.

Laten we eerst de lengte van #vec v #:

# || vec v || = sqrt (3 ^ 2 + 2 ^ 2 + (- 3) ^ 2) = sqrt22 #

Maar merk op dat in de uitdrukking wat we eigenlijk willen is # || vec v || ^ 2 #, dus als we beide kanten haaks krijgen, worden we gewoon #22#.

Nu hebben we het puntproduct van nodig #vec u # en #vec v #:

#vec u * vec v = (1xx3 + (- 2) xx2 + 3xx (-3)) = (3-4-9) = (-10) #

(om het puntproduct te vinden vermenigvuldigen we de coëfficiënten van #i, j en k # en voeg ze toe)

Nu hebben we alles wat we nodig hebben:

#proj_vec v vec u = ((vec u * vec v) / || vec v || ^ 2) * vec v = (-10/22) (3i + 2j-3k) #

# = (- 30 / 22i-20 / 22j + 30 / 22k) = (-15 / 11i-10 / 11j + 15 / 11k) #