Hoe verifieer je de volgende identiteit?

Antwoord:

Gebruik een paar trig-identiteiten en veel vereenvoudiging. Zie hieronder.

Uitleg:

Als het gaat om dingen als # Cos3x #, het helpt om het te vereenvoudigen tot trigonometrische functies van een eenheid #X#; dat wil zeggen zoiets # Cosx # of # Cos ^ 3x #. We kunnen de somregel voor cosinus gebruiken om dit te bereiken:

#cos (alfa + beta) = cosalphacosbeta-sinalphasinbeta #

Dus sindsdien # Cos3x = cos (2x + x) #, wij hebben:

#cos (2x + x) = cos2xcosx-sin2xsinx #

# = (Cos ^ 2x-^ sin 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (sinx) #

Nu kunnen we vervangen # Cos3x # met de bovenstaande uitdrukking:

# (Cos3x) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

# ((Cos ^ 2x-^ sin 2x) (cosx) - (2sinxcosx) (SiNx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

We kunnen deze grotere fractie opsplitsen in twee kleinere fracties:

# ((Cos ^ 2x-^ sin 2x) (cosx)) / cosx - ((2sinxcosx) (SiNx)) / cosx = 1-4sin ^ 2x #

Merk op hoe de cosinussen annuleren:

# ((Cos ^ 2x-^ sin 2x) annuleren (cosx)) / uitschakelen (cosx) - ((2sinxcancel (cosx)) (SiNx)) / cancelcosx = 1-4sin ^ 2x #

# -> cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin 2x ^ = ^ 1-4sin 2x #

Voeg nu een toe # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # in de linkerkant van de vergelijking (wat hetzelfde is als toevoegen #0#). De redenering hierachter zal in een oogwenk duidelijk worden:

# Cos ^ 2x-sin ^ 2x-2sin ^ 2x + (sin ^ 2x-sin ^ 2 x) = ^ 1-4sin 2x #

Herschikken termen:

# Cos ^ 2x + sin ^ 2x- (sin ^ 2x + sin ^ 2x + 2sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Gebruik de Pythagorean identiteit # ^ Sin 2x + cos ^ 2x = 1 # en combineer de # Sin ^ 2x #s tussen haakjes:

# 1- (4sin ^ 2x) = 1-4sin ^ 2x #

Je ziet dat onze kleine truc van toevoegen # Sin ^ 2x-sin ^ 2x # heeft ons toegestaan om de Pythagorean Identity te gebruiken en de # Sin ^ 2x # voorwaarden.

En voila:

# 1-4sin ^ 2x = 1-4sin ^ 2x #

Quod erat demonstrandum