Wat is de absolute extrema van f (x) = x - e ^ x in [1, ln8]?

Antwoord:

Er is een absoluut maximum van #-1.718# op # X = 1 # en een absoluut minimum van #-5.921# op # X = LN8 #.

Uitleg:

Om vast te stellen absolute extrema in een interval moeten we de kritieke waarden van de functie vinden die binnen het interval liggen. Vervolgens moeten we zowel de eindpunten van het interval als de kritieke waarden testen. Dit zijn de plekken waar kritische waarden kunnen voorkomen.

Kritieke waarden vinden:

De kritische waarden van #f (x) # komen altijd voor #f '(x) = 0 #. We moeten dus de afgeleide vinden van #f (x) #.

Als:# "" "" "" "" "" f (x) = x-e ^ x #

Dan: # "" "" "" f '(x) = 1-e ^ x #

Dus de kritieke waarden zullen optreden wanneer: # "" "" 1-e ^ x = 0 #

Wat impliceert dat:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" e ^ x = 1 #

Zo:# "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" "" x = ln1 = 0 #

De enige kritieke waarde van de functie is op # X = 0 #, dat is niet op het gegeven interval # 1, LN8 #. Dus de enige waarden waarop de absolute extrema zou kunnen voorkomen zijn # X = 1 # en # X = LN8 #.

Testen van mogelijke waarden:

Gewoon, vinden #f (1) # en #f (LN8) #. Kleiner is het absolute minimum van de functie en hoe groter het absolute maximum.

#f (1) = 1-e ^ 1 = 1-eapprox-1.718 #

#f (LN8) = LN8-e ^ LN8 = ln8-8approx-5.921 #

Er is dus een absoluut maximum van #-1.718# op # X = 1 # en een absoluut minimum van #-5.921# op # X = LN8 #.

Grafisch is de originele functie op het opgegeven interval:

grafiek {x-e ^ x.9, 2.079, -7, 1}

Omdat er geen kritieke waarden zijn, blijft de functie gedurende het gehele interval afnemen. Sinds # X = 1 # is het begin van het steeds dalende interval, het heeft de hoogste waarde. Dezelfde logica is van toepassing op # X = LN8 #, omdat dit het verste interval is en het laagste is.