Zet alle complexe getallen om in goniometrische vorm en vereenvoudig de uitdrukking vervolgens? Schrijf het antwoord in standaardformulier.

Antwoord:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-sqrt {3} + i) ^ 3} / (sqrt {3} + i) ^ 10 #

# = (sqrt {3} -1) / 2 + (sqrt {3} +1) / 2 i #

Uitleg:

In een ander antwoord op deze vraag vermoedde ik dat er een typefout was in deze en die vraag #-3# had zo moeten zijn # -Sqrt {3} #. Ik ben verzekerd in een opmerking dat dit niet het geval is, dat de vraag correct is zoals geschreven.

Ik zal niet herhalen hoe we hebben vastgesteld

# 2+ 2i = 2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ #

# sqrt {3} + i = 2 text {cis} 30 ^ circ #

Maar nu moeten we ons bekeren # -3 + i # naar goniometrische vorm. We kunnen het, maar omdat het niet een van Trig's voorkeursdriehoeken is, is het een beetje onhandiger.

# | -3 + i | = sqrt {3 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {10} #

We bevinden ons in het tweede kwadrant en de belangrijkste waarde van de inverse tangens is het vierde kwadrant.

# angle (-3 + i) = text {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ #

# -3 + i = sqrt {10} text {cis} (tekst {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ) #

De Moivre werkt niet zo goed in zo'n vorm, we krijgen het

# (-3 + i) ^ 3 = sqrt {10 ^ 3} text {cis} (3 (tekst {Arc} tekst {tan} (1 / {- 3}) + 180 ^ circ)) #

Maar we zitten niet vast. Omdat de exponent alleen is #3# we kunnen dit doen met drievoudige hoekformules. Laten we de constante hoek noemen die we hebben gevonden

#theta = hoek (-3 + i) #

Door De Moivre, # (-3 + i) ^ 3 = (sqrt {10} text {cis} theta) ^ 3 = 10sqrt {10} (cos (3theta) + i sin (3 theta)) #

Wij weten

# cos theta = -3 / sqrt {10}, quad sin theta = 1 / sqrt {10} #

#cos (3 theta) = 4 cos ^ 3 theta - 3 cos theta = 4 (-3 / sqrt {10}) ^ 3 - 3 (- 3 / sqrt {10}) = - (9 sqrt (10)) / 50 #

#sin (3 theta) = 3 sin theta - 4 sin ^ 3 theta = 3 (1 / sqrt {10}) - 4 (1 / sqrt {10}) ^ 3 = (13 sqrt (10)) / 50 #

# (-3 + i) ^ 3 = 10sqrt {10} (sqrt {10} / 50) (-9 + 13 i) = -18 +26 i #

Dat lijkt veel meer dan alleen kubussen # (- 3 + i): #

# (-3 + i) (- 3 + i) (- 3 + i) = (- 3 + i) (8 -6i) = -18 + 26 i quad sqrt #

OK, laten we het probleem oplossen:

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = {(2 sqrt {2} text {cis} 45 ^ circ) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(2 text {cis} 30 ^ circ) ^ {10} } #

# = ({2 ^ 5 sqrt {2 ^ 5}} / 2 ^ 10) { text {cis} (5 cdot 45 ^ circ)} / { text {cis} (10 cdot 30 ^ circ)} (- 3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) { text {cis} (225 ^ circ)} / { text {cis} (300 ^ circ)} (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) text {cis} (225 ^ circ - 300) (-3 + i) ^ 3 #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) text {cis} (- 75 ^ circ) #

Ugh, het eindigt nooit. We krijgen

#cos (-75 ^ circ) = cos 75 ^ circ = cos (45 ^ circ + 30 ^ circ) = sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 - 1/2) = 1/4 (sqrt {6} -sqrt {2}) #

#sin (-75 ^ circ) = - (sin 45 cos 30 + cos 45 sin 30) = -sqrt {2} / 2 (sqrt {3} / 2 + 1/2) = - 1/4 (sqrt {6} + sqrt {2}) #

# {(2 + 2i) ^ 5 (-3 + i) ^ 3} / {(sqrt {3} + i) ^ {10}} #

# = (sqrt {2} / 8) (-18 +26 i) 1/4 ((sqrt {6} -sqrt {2}) - (sqrt {6} + sqrt {2}) i) #

# = {11 + 2 sqrt (3)} / 4 + (11 sqrt (3) - 2) / 4 i #

Het product van twee opeenvolgende even gehele getallen is 24. Zoek de twee gehele getallen. Antwoord eerst in de vorm van gepaarde punten met de laagste van de twee gehele getallen. Antwoord?

De twee opeenvolgende even gehele getallen: (4,6) of (-6, -4) Laten, kleur (rood) (n en n-2 zijn de twee opeenvolgende even gehele getallen, waar kleur (rood) (n inZZ Product van n en n-2 is 24 ie n (n-2) = 24 => n ^ 2-2n-24 = 0 Nu, [(-6) + 4 = -2 en (-6) xx4 = -24]: .n ^ 2-6n + 4n-24 = 0: .n (n-6) +4 (n-6) = 0:. (N-6) (n + 4) = 0: .n-6 = 0 of n + 4 = 0 ... tot [n inZZ] => kleur (rood) (n = 6 of n = -4 (i) kleur (rood) (n = 6) => kleur (rood) (n-2) = 6-2 = kleur (rood) (4) Dus, de twee opeenvolgende even gehele getallen: (4,6) (ii)) kleur (rood) (n = -4) => kleur (rood) (n-2) = -4-2 = kleur (rood) (- 6) Dus, de

Vaak wordt een antwoord dat "moet worden verbeterd" vergezeld door een tweede, volledig aanvaardbaar antwoord. Het verbeteren van een gebrekkig antwoord zou het vergelijkbaar maken met het "goede" antwoord. Wat te doen …?

"Wat te doen...?" Bedoel je wat we zouden moeten doen als we merken dat dit is gebeurd? ... of moeten we een defect antwoord bewerken in plaats van een nieuw antwoord toe te voegen? Als we merken dat dit is gebeurd, stel ik voor dat we beide antwoorden laten zoals ze zijn (tenzij je denkt dat er iets anders aan de hand is ... voeg dan misschien een opmerking toe). Of we een gebrekkig antwoord moeten verbeteren, is wat problematischer. Zeker als het een eenvoudige correctie is die kan worden afgeschreven als een "typo", dan zou ik zeggen "ga je gang en bewerk". Als we het echter hebben over een

Vereenvoudig de rationele expressie. Staat er beperkingen op de variabele? Controleer mijn antwoord en leg uit hoe ik bij mijn antwoord kom. Ik weet hoe ik de beperkingen moet doen, het is het laatste antwoord dat ik verward heb

((8x + 26) / ((x + 4) (x-4) (x + 3))) beperkingen: -4,4, -3 (6 / (x ^ 2-16)) - (2 / ( x ^ 2-x-12)) Factoring onderste delen: = (6 / ((x + 4) (x-4))) - (2 / ((x-4) (x + 3))) Vermenigvuldigd met ((x + 3) / (x + 3)) en rechts bij ((x + 4) / (x + 4)) (gemeenschappelijke denomanators) = (6 (x + 3)) / ((x + 4) ( x-4) (x + 3)) - (2 (x + 4)) / ((x-4) (x + 3) (x + 4)) Dat vereenvoudigt tot: ((4x + 10) / (( x + 4) (x-4) (x + 3))) ... hoe dan ook, beperkingen zien er goed uit. Ik zie dat je deze vraag een beetje geleden hebt gesteld, hier is mijn antwoord. Als je meer hulp nodig hebt, vraag het je dan gerust :)