Wat zijn kruisproducten?

Antwoord:

Zie uitleg …

Uitleg:

Wanneer je vectoren tegenkomt in #3# dimensies dan ontmoet je twee manieren om twee vectoren samen te vermenigvuldigen:

Kruisproduct

Geschreven #vec (u) xx vec (v) #, dit neemt twee vectoren en produceert een vector loodrecht op beide, of de nulvector indien #vec (u) # en #vec (v) # zijn parallel.

Als #vec (u) = <u_1, u_2, u_3> # en #vec (v) = <v_1, v_2, v_3> # dan:

#vec (u) xx vec (v) = <u_2v_3-u_3v_2, kleur (wit) (.) u_3v_1-u_1v_3, kleur (wit) (.) u_1v_2-u_2v_1> #

Dit wordt soms beschreven in termen van een determinant van a # 3 xx 3 # matrix en de drie eenheidsvectoren #hat (i) #, #hat (j) #, #hat (k) #:

#vec (u) xx vec (v) = abs ((hoed (i), hoed (j), hoed (k)), (u_1, u_2, u_3), (v_1, v_2, v_3)) #

Hoe zit het met divisie?

Noch het puntproduct noch het dwarsproduct staat verdeling van vectoren toe. Om te vinden hoe u vectoren kunt verdelen, kunt u naar de quaternions kijken. De quaternions vormen een #4# dimensionale vectorruimte over de reële getallen en rekenkundig met niet-commutatieve vermenigvuldiging die kan worden uitgedrukt als een combinatie van puntproduct en kruisproduct. Eigenlijk is dat de verkeerde kant op, omdat quaternion rekenkunde ouder is dan de moderne presentatie van vectoren, punt- en kruisproducten.

Hoe dan ook, we kunnen zeggen dat een quaternion kan worden geschreven als een combinatie van een scalair deel en vectorgedeelte, met rekenkunde gedefinieerd door:

# (r_1, vec (v_1)) + (r_2, vec (v_2)) = (r_1 + r_2, vec (v_1) + vec (v_2)) #

# (r_1, vec (v_1)) * (r_2, vec (v_2)) = (r_1 r_2 - vec (v_1) * vec (v_2), r_1 vec (v_2) + r_2 vec (v_1) + vec (v_1) xx vec (V_2)) #

Voor een heel interessant gerelateerd gesprek, kijk dit …

Leven vóór Vectoren