X ^ 3 ^ 4-4x + x ^ 2 + 4x + 1 = 0. Hoe op te lossen voor x?

Antwoord:

# X = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #

Uitleg:

Aangezien deze quartic geen rationele wortels heeft (en ik kan niet last hebben van de formules), beginnen we met het gebruik van de methode van Newton om de wortels te schatten:

# X ~~ -0,303 #

# X ~~ -0,618 #

# X ~~ 1.618 #

# X ~~ 3.303 #

Hiervan vinden we dat # X ~~ -0,618 # en # X ~~ 1.618 # uitblinken. We herkennen deze als de gulden snede:

# X = (1 + -sqrt5) / 2 #

We kunnen ook verifiëren dat het wortels zijn door ze in de vergelijking te stoppen, maar je kunt gewoon geloven dat ze inderdaad wortels zijn.

Dit betekent dat het volgende een factor van de vergelijking is:

# (X- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #

# = ((X-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #

# = (X-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #

# = X ^ 2-x-1 #

Sinds, we weten het # X ^ 2-x-1 # is een factor, we kunnen polynomiale long division gebruiken om de rest te achterhalen en de vergelijking als volgt te herschrijven:

# (X ^ 2-x-1) (x ^ 2-3 x-1) = 0 #

We zijn er al achter dat de linkerfactor gelijk is aan nul, dus we kijken nu naar rechts. We kunnen het kwadratische oplossen met behulp van de kwadratische formule om:

# X = (3 + -sqrt13) / 2 #