Hoe evalueer je de definitieve integrale int ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 dx uit [3,9]?

Antwoord:

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx = #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 = 0.7606505661495 #

Uitleg:

Van het gegeven, # int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

We beginnen met het vereenvoudigen van eerst de integrand

# int_3 ^ 9 ((sqrtx + 1) / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 ((sqrtx) / (4sqrtx) + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4 + 1 / (4sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/4) ^ 2 * (1 + 1 / (sqrtx)) ^ 2 * dx #

# int_3 ^ 9 (1/16) * (1 + 2 / (sqrtx) + 1 / x) dx #

# (1/16) * int_3 ^ 9 (1 + 2 * x ^ (- 1/2) + 1 / x) dx #

# (1/16) * x + (2 * x ^ (1/2)) / (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * x + 4 * x ^ (1/2) + ln x _3 ^ 9 #

# (1/16) * (9 + 4 * 9 ^ (1/2) + ln 9) - (3 + 4 * 3 ^ (1/2) + ln 3) #

# (1/16) * 9 + 12 + ln 9-3-4sqrt3-ln 3 #

# (1/16) (18-4sqrt3 + ln 3) #

# 9/8-sqrt3 / 4 + 1/16 * ln 3 #

#0.7606505661495#

God zegene … Ik hoop dat de uitleg nuttig is.

Hoe evalueer je de definitieve integrale int t sqrt (t ^ 2 + 1dt) begrensd door [0, sqrt7]?

Het is int_0 ^ sqrt7 t * sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * (t ^ 2 + 1) '* sqrt (t ^ 2 + 1) dt = int_0 ^ sqrt7 1/2 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2) / (3/2)] 'dt = 1/3 * [(t ^ 2 + 1) ^ (3/2)] _ 0 ^ sqrt7 = 1/3 (16 sqrt (2) -1) ~~ 7.2091

Hoe evalueer je de definitieve integraal int (2t-1) ^ 2 van [0,1]?

1/3 int_0 ^ 1 (2t-1) ^ 2dt Laat u = 2t-1 betekent du = 2dt daarom dt = (du) / 2 De grenzen veranderen: t: 0rarr1 impliceert u: -1rarr1 Integraal wordt: 1 / 2int_ ( -1) ^ 1u ^ 2du = 1/2 [1 / 3u ^ 3] _ (- 1) ^ 1 = 1/6 [1 - (-1)] = 1/3

Hoe evalueer je de definitieve integrale int sin2theta uit [0, pi / 6]?

Int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4 int_0 ^ (pi / 6) sin (2theta) d theta laat kleur (rood) (u = 2theta) kleur (rood) (du = 2d theta) kleur (rood) ( d theta = (du) / 2) De grenzen worden veranderd in kleur (blauw) ([0, pi / 3]) int_0 ^ (pi / 6) sin2thetad theta = int_color (blauw) 0 ^ kleur (blauw) (pi / 3) sincolor (rood) (u (du) / 2) = 1 / 2int_0 ^ (pi / 3) sinudu Zoals we weten theintsinx = -cosx = -1 / 2 (cos (pi / 3) -cos0) = -1 / 2 (1 / 2-1) = - 1/2 * -1 / 2 = 1/4 dus, int_0 ^ (pi / 6) sin2theta = 1/4