Kan iemand dit bewijzen alsjeblieft?

Antwoord:

Gebruik de sinuswet voor driehoeken en enkele eenvoudige trigonometrische identiteiten.

Uitleg:

Van de sinuswet van driehoeken

# a / {sin A} = b / {sin B} = c / {sin C} #

we kunnen dat gemakkelijk zien

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 = {sin ^ 2B-sin ^ 2C} / sin ^ 2A = {(sin B-sinC) (sin B + sin C)} / {sin ^ 2A} = {2 sin ({BC} / 2) cos ({B + C} / 2) maal 2 sin ({B + C} / 2) cos ({BC} / 2)} / sin ^ 2A = {sin (BC) zonde (B + C)} / zonde ^ 2A = {zonde (BC) zonde (pi-A)} / zonde ^ 2A = zonde (BC) / sinA #

Zodat

# {b ^ 2 -c ^ 2} / a ^ 2 maal sin2A = 2cosAsin (B-C) = 2 cosAsinBcosC-2cosAcosBsinC #

De andere twee termen kunnen hieruit worden verkregen door eenvoudig cyclisch te permuteren #EEN#, # B # en # C #. Het toevoegen van de drie termen leidt tot het bewijs triviaal.

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

De eerste termijn van # LHS = (b-c ^ 2 ^ 2) / a ^ 2 * sin2A #

# = (4R ^ 2 sin ^ sin 2A-2B ^) / (4R ^ 2 ^ * sin 2A) * sin2A #

# = (Sin (B + C) sin (B-C)) / sin 2A ^ * sin2A #

# = (SinAsin (B-C)) / (sina sina *) * 2sinA * cosa #

# = 2cosAsin (B-C) #

# = Sin (A + B-C) -sin (A-B + C) #

# = Sin (pi-2C) -sin (pi-2B) = sin2C-sin2B #

Evenzo de tweede term# = Sin2A-sin2B # en

De derde termijn# = Sin2B-sin2A #

geheel # LHS = sin2C-sin2B + sin2A-sin2C + sin2B-sin2C = 0 #

Let daar op # ^ Sin 2A-2B = sin ^ sin (A + B) * sin (A-B) #

Antwoord:

Gelieve te verwijzen naar de Uitleg.

Uitleg:

Vereisten: in de gebruikelijke notatie voor # DeltaABC, #

Sinusregel: # a / sinA = 2R, of, sinA = a / (2R) #.

Cosinusregel: # Cosa = (b + c ^ 2 ^ 2-a ^ 2) / (2BC) #.

Wij hebben, # (B ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = (b-c ^ 2 ^ 2) / a ^ 2 * (2sinAcosA) #, # = (B-c ^ 2 ^ 2) / a ^ 2 * 2 * {a / (2R) * (b + c ^ 2 ^ 2-a ^ 2) / (2BC)} #,

# = {(B ^ c ^ 2-2) (b + c ^ 2 ^ 2 ^ a-2)} / (RABC) #, # = {(B ^ c ^ 2-2) (b + c ^ 2 ^ 2) -a ^ 2 (b-2 ^ c ^ 2)} / (RABC) #, #rArr (b ^ 2-c ^ 2) / a ^ 2 * sin2A = {(b ^ c ^ 4-4) -a ^ 2 (b-2 ^ c ^ 2)} / (RABC) #.

Vergelijkbare uitdrukkingen verkrijgen voor de resterende termen van links

lid en ze toe te voegen, volgt het resultaat.