Bewijs dat als u een oneven geheel getal is, de vergelijking x ^ 2 + x-u = 0 geen oplossing heeft die een geheel getal is?

Antwoord:

Hint 1: Stel dat hij een vergelijking is # x ^ 2 + x-u = 0 # met # U # een geheel getal heeft een gehele oplossing # N #. Laat zien # U # is zelfs.

Uitleg:

Als # N # is een oplossing de er is een geheel getal # M # zoals dat

# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #

Waar #nm = u # en # m-n = 1 #

Maar de tweede vergelijking brengt dat met zich mee #m = n + 1 #

Nu allebei # M # en # N # zijn gehele getallen, dus een van # N #, # N + 1 # is even en #nm = u # is zelfs.

voorstel

Als # U # is een oneven geheel getal, dan de vergelijking # x ^ 2 + x - u = 0 # heeft geen oplossing die een geheel getal is.

Bewijs

Stel dat er een integer-oplossing bestaat # M # van de vergelijking:

# x ^ 2 + x - u = 0 #

waar # U # is een vreemd geheel getal. We moeten de twee mogelijke gevallen onderzoeken:

# M # is vreemd; of

# M # is zelfs.

Laten we eerst het geval bekijken waarin # M # is oneven, dan bestaat er een geheel getal # K # zoals dat:

# m = 2k + 1 #

Nu, sinds # M # is een wortel van onze vergelijking, het moet zo zijn:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #

#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #

En we hebben een contradictie, zoals # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # is zelfs, maar # U # is vreemd.

Laten we vervolgens het geval bekijken waarin # M # is zelfs, dan bestaat er een geheel getal # K # zoals dat:

# m = 2k #

Evenzo, sinds # M # is een wortel van onze vergelijking, het moet zo zijn:

# m ^ 2 + m - u = 0 #

#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #

#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #

#:. u = 4k ^ 2 + 2k #

#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #

En nogmaals, we hebben een contradictie, zoals # 2 (2k ^ 2 + k) # is zelfs, maar # U # is vreemd.

Dus we hebben bewezen dat er geen integer oplossing van de vergelijking is # x ^ 2 + x - u = 0 # waar # U # is een vreemd geheel getal.

Vandaar dat de propositie wordt bewezen. QED

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Als # X ^ 2 + x-u = 0 # dan

#x (x + 1) = u # dan als #X# is een geheel getal, #x (x + 1) # is zelfs, omdat het een tegenspraak is omdat # U # door een hypothese is vreemd.