Wat zijn de extrema- en zadelpunten van f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Antwoord:

#(0,0)# is een zadelpunt

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # en # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # zijn lokale maxima

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # en # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # zijn lokale minima

# (0, pm 1 / sqrt 2) # en # (pm 1 / sqrt 2,0) # zijn buigpunten.

Uitleg:

Voor een algemene functie # F (x, y) # met een stationair punt op # (X_0, y_0) # we hebben de uitbreiding van de Taylor-serie

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldots #

Voor de functie

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

wij hebben

# (del f) / (del x) = ye ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Het is gemakkelijk om te zien dat de beide eerste derivaten verdwijnen bij de volgende ponsen

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Om de aard van deze stationaire punten te onderzoeken, moeten we kijken naar het gedrag van de tweede derivaten daar.

Nu

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

en op dezelfde manier

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

en

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Dus voor #(0,0)# wij hebben # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # en # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - Vandaar

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Als je nadert #(0,0)# langs de lijn # X = y #, dit wordt dit

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

en dus #(0,0)# is natuurlijk een minimum als je vanuit deze richting nadert. Aan de andere kant, als je langs de lijn nadert # X = -y # wij hebben

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

en dus #(0,0)# is een maximum in deze richting, Dus #(0,0)# is een zadelpunt.

Voor # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # het is gemakkelijk te zien dat

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # en # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

wat betekent dat

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Dus, de functie neemt af op welke manier u ook weggaat # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # en dit is een lokaal maximum. Het is gemakkelijk te zien dat hetzelfde geldt voor # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (dit had duidelijk moeten zijn, omdat de functie onder dezelfde blijft # (x, y) tot (-x, -y) #!

Nogmaals, voor beiden # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # en # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # wij hebben

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # en # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Beide punten zijn dus lokale minima.

De vier punten # (0, pm 1 / sqrt2) # en # (pm 1 / sqrt2, 0) # zijn problematischer omdat alle afgeleide producten op deze punten verdwijnen. We moeten nu naar derivaten van hogere orde kijken. Gelukkig hoeven we hier niet echt hard voor te werken - de volgende afgeleide rendementen

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

die voor beide niet-nul is # (0, pm 1 / sqrt2) # en # (pm 1 / sqrt2, 0) #. Dit betekent nu bijvoorbeeld

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

waaruit blijkt dat dit zal toenemen # f (0,1 / sqrt 2) # in de ene richting, en daarvan afnemen in de andere. Dus # (0,1 / sqrt2) # is een ** punt van verbuiging. Hetzelfde argument werkt voor de andere drie punten.