Laat zien dat int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Antwoord:

Zie uitleg

Uitleg:

We willen laten zien

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Dit is een vrij "lelijke" integraal, dus onze aanpak zal niet zijn om deze integraal op te lossen, maar te vergelijken met een "mooiere" integraal

Wij nu dat voor alle positieve reële cijfers #color (rood) (sin (x) <= x) #

De waarde van de integrand zal dus ook groter zijn, voor alle positieve reële getallen, als we deze vervangen # X = sin (x) #, dus als we kunnen laten zien

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #

Dan moet onze eerste verklaring ook waar zijn

De nieuwe integraal is een eenvoudig substitutievraagstuk

# Int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ ^ 1 0 = sqrt (2) -1 #

De laatste stap is om dat op te merken #sin (x) = x => x = 0 #

Daarom kunnen we concluderen

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1 #