Hoe vind je de vertex van een kwadratische vergelijking?

Antwoord:

Gebruik de formule # -B / (2a) # voor de x-coördinaat en sluit hem vervolgens aan om de y te vinden.

Uitleg:

Een kwadratische vergelijking is geschreven als # Ax ^ 2 + bx + c # in zijn standaardvorm. En de top kan worden gevonden door de formule te gebruiken # -B / (2a) #.

Stel bijvoorbeeld dat ons probleem is om vertex (x, y) van de kwadratische vergelijking te vinden # X ^ 2 + 2x-3 #.

1) Beoordeel uw a, b en c-waarden. In dit voorbeeld is a = 1, b = 2 en c = -3

2) Sluit uw waarden aan in de formule # -B / (2a) #. Voor dit voorbeeld krijg je #-2/(2*1)# die kan worden vereenvoudigd tot -1.

3) U hebt zojuist de x-coördinaat van uw vertex gevonden! Sluit nu -1 in voor x in de vergelijking om de y-coördinaat te achterhalen.

4) # (- 1) ^ 2 + 2 (-1) -3 = y #.

5) Na het vereenvoudigen van de bovenstaande vergelijking krijg je: 1-2-3, wat gelijk is aan -4.

6) Uw laatste antwoord is (-1, -4)!

Ik hoop dat het hielp.

Antwoord:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # heeft een hoekpunt op # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Uitleg:

Overweeg een algemene kwadratische uitdrukking:

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

en de bijbehorende vergelijking #f (x) = 0 #:

# => ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Met wortels, # Alpha # en # Beta #.

We weten (door symmetrie - zie hieronder voor bewijs) dat de vertex (ofwel maximum of minimum) het middelpunt is van de twee wortels, de #X#-coordinaat van de top is:

# x_1 = (alfa + bèta) / 2 #

Noem echter de goed bestudeerde eigenschappen:

# {: ("som van de wortels", = alpha + beta, = -b / a), ("product van de wortels", = alfa beta, = c / a):} #

Dus:

# x_1 = - (b) / (2a) #

Geeft ons:

# f (x_1) = a (- (b) / (2a)) ^ 2 + b (- (b) / (2a)) + c #

# = (b ^ 2) / (4a) - b ^ 2 / (2a) + c #

# = (4ac - b ^ 2) / (4a) #

# = - (b ^ 2 - 4ac) / (4a) #

Dus:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 # heeft een hoekpunt op # (- (b) / (2a), - (b ^ 2 - 4ac) / (4a)) #

Bewijs van middelpunt:

Als we hebben

# f (x) = ax ^ 2 + bx + c = 0 #

Vervolgens onderscheidend t.o.v. #X#:

# f '(x) = 2ax + b #

Op een kritiek punt, de eerste afgeleide, #f '(x) # verdwijnt, wat vereist dat:

# f '(x) = 0 #

#:. 2ax + b = 0 #

#:. x = -b / (2a) # QED