Wat zijn de geschatte oplossingen van 5x ^ 2 - 7x = 1 afgerond op de dichtstbijzijnde honderdste?

aftrekken #1# van beide kanten krijgen we:

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

Dit is van de vorm # ax ^ 2 + bx + c = 0 #, met #a = 5 #, #b = -7 # en #c = -1 #.

De algemene formule voor de wortels van zo'n kwadratisch geeft ons:

#x = (-b + - sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

# = (7 + -sqrt ((- 7) ^ 2- (4xx5xx-1))) / (2xx5) #

# = (7 + -sqrt (69)) / 10 #

# = 0.7 + - sqrt (69) / 10 #

Wat is een goede benadering voor #sqrt (69) #?

We zouden het in een rekenmachine kunnen slaan, maar laten we het met de hand doen in plaats van Newton-Raphson:

#8^2 = 64#, dus #8# lijkt een goede eerste benadering.

Gebruik vervolgens de volgende formule:

#a_ (n + 1) = (a_n ^ 2 + 69) / (2a_n) #

Laat # A_0 = 8 #

# a_1 = (64 + 69) / 16 = 133/16 = 8.3125 #

Dit is bijna zeker goed genoeg voor de gevraagde nauwkeurigheid.

Zo #sqrt (69) / 10 ~ = 8.3 / 10 = 0.83 #

#x ~ = 0.7 + - 0.83 #

Dat is #x ~ = 1.53 # of #x ~ = -0.13 #

Herschrijven # 5x ^ 2-7x = 1 # in de standaardvorm van # ax ^ 2 + bx + c = 0 #

geven

# 5x ^ 2-7x-1 = 0 #

gebruik dan de kwadratische formule voor wortels:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

In dit geval

#x = (7 + -sqrt (49 + 20)) / 10 #

Een rekenmachine gebruiken:

#sqrt (69) = 8.306624 # (Ong.)

Zo

# x = 15.306624 / 10 = 1.53 # (afgerond naar dichtstbijzijnde honderdste)

of

#x = -1.306624 / 10 = -0.13 # (afgerond naar de dichtstbijzijnde honderdste)