Wat is de som van de wortels van de vergelijking 4 ^ x - 3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0?

Gegeven vergelijking

# 4 ^ x-3 (2 ^ (x + 3)) + 128 = 0 #

# => (2 ^ 2) ^ x-3 (2 ^ x * 2 ^ 3) + 128 = 0 #

# => (2 ^ x) ^ 2-3 (2 ^ x * 8) + 128 = 0 #

Nemen # 2 ^ x = y # de vergelijking wordt

# => Y ^ 2-24y + 128 = 0 #

# => Y ^ 2-16y-8j + 128 = 0 #

# => Y (y-16) -8 (y-16) = 0 #

# => (Y-16) (y-8) = 0 #

Zo #y = 8 en y = 16 #

wanneer # Y = 8 => 2 ^ x = 2 ^ 3 => x = 3 #

wanneer # Y = 16 => 2 ^ x = 2 ^ 4 => x = 4 #

Vandaar wortels # 3 en 4 #

Dus de som van de wortels is #=3+4=7#

Antwoord:

#7#

Uitleg:

Als #p (x) = (x-a) (x-b) = x ^ 2- (a + b) x + ab #

de #X# coëfficiënt is de som van de wortels.

In # (2 ^ x) ^ 2-24 cdot 2 ^ x + 128 # wij hebben dat

#24# is de som van # R_1 # en # R_2 # zoals dat

# (2 ^ x-R_1) (2 ^ x-r_2) = 0 #

Ook hebben we # r_1r_2 = 2 ^ 7 = 2 ^ 3 2 ^ 4 # en

# r_1 + r_2 = 3 cdot 2 ^ 3 = 2 ^ 3 + 2 ^ 4 #

dan

# R_1 = 2 ^ 3> x_1 = 3 # en

# R_2 = 2 ^ 4-> x_2 = 4 # zo

# X_1 + x_2 = 7 #