Wat is de logaritme van een negatief getal?

Logaritmen van negatieve getallen worden niet gedefinieerd in de reële getallen, net zoals wortels van negatieve getallen niet worden gedefinieerd in de reële getallen. Als u verwacht dat u het logboek van een negatief getal vindt, volstaat in de meeste gevallen een antwoord van "undefined".

Het is mogelijk om er een te evalueren, maar het antwoord zal een complex getal zijn. (een aantal van het formulier #a + bi #, waar #i = sqrt (-1) #)

Als je bekend bent met complexe getallen en je prettig voelt om ermee te werken, lees dan verder.

Laten we eerst beginnen met een algemene casus:

#log_b (-x) =? #

We zullen de change-of-base regel gebruiken en converteren naar natuurlijke logaritmen om dingen later gemakkelijker te maken:

#log_b (-x) = ln (-x) / lnb #

Let daar op #ln (-x) # is hetzelfde als #ln (-1 * x) #. We kunnen de optellingseigenschap van logaritmen gebruiken en dit deel scheiden in twee afzonderlijke logboeken:

#log_b (-x) = (lnx + ln (-1)) / lnb #

Nu is het enige probleem om uit te zoeken wat #ln (-1) # is. Het lijkt misschien een onmogelijke zaak om eerst te evalueren, maar er is een vrij bekende vergelijking bekend als Euler's Identity die ons kan helpen.

Euler's Identity verklaart:

# e ^ (ipi) = -1 #

Dit resultaat komt voort uit uitbreidingen van de machtreeksen van sinus en cosinus. (Ik zal dat niet te diep uitleggen, maar als je geïnteresseerd bent, is hier een leuke pagina die wat meer uitleg geeft)

Laten we voorlopig gewoon het natuurlijke logboek van beide zijden van Euler's Identity nemen:

#ln e ^ (ipi) = ln (-1) #

Vereenvoudigd:

#ipi = ln (-1) #

Dus, nu dat we wat weten #ln (-1) # is, kunnen we terug in onze vergelijking vervangen:

#log_b (-x) = (lnx + ipi) / lnb #

Nu heb je een formule voor het vinden van logs van negatieve getallen. Dus als we zoiets willen evalueren # log_2 10 #, we kunnen gewoon een paar waarden inpluggen:

# log_2 (-10) = (ln10 + ipi) / ln2 #

#approx 3.3219 + 4.5324i #