Antwoord:
Centrum: #(2,-1)#
hoekpunten: # (2, 1/2) en (2, -5 / 2) #
Co-Hoekpunten: # (1, -1) en (3, -1) #
foci: # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) en (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Excentriciteit: #sqrt (5) / 3 #
Uitleg:
De techniek die we willen gebruiken, wordt het voltooien van het vierkant genoemd. We zullen het gebruiken op de #X# eerst termen en dan de # Y #.
Herschikken naar
# 9x ^ 2 + 4y ^ 2 - 36x + 8y = -31 #
Scherpstellen op #X#, deel door door de # X ^ 2 # coëfficiënt en voeg het kwadraat toe van de helft van de coëfficiënt van de # X ^ 1 # termijn aan beide zijden:
# x ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 - 4x + 8 / 9y + (- 2) ^ 2 = -31/9 + (-2) ^ 2 #
# (x-2) ^ 2 + 4 / 9y ^ 2 + 8 / 9y = 5/9 #
Deel door door Y ^ # 2 # coëfficiënt en voeg een kwadraat toe van de helft van de coëfficiënt van de Y ^ # 1 # termijn aan beide zijden:
# 9/4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 + 2y + (1) ^ 2 = 5/4 + (1) ^ 2 #
# 9/4 (x-2) ^ 2 + (y + 1) ^ 2 = 9/4 #
Delen door #9/4# versimpelen:
# (x-2) ^ 2 + 4/9 (y + 1) ^ 2 = 1 #
# (x-2) ^ 2/1 + ((y + 1) ^ 2) / (9/4) = 1 #
Algemene vergelijking is
# (x-a) ^ 2 / h ^ 2 + (y-b) ^ 2 / k ^ 2 = 1 #
waar # (A, b) # is het centrum en #h, k # zijn de semi-secundaire / hoofdas.
Het aflezen van het midden geeft #(2, -1)#.
In dit geval, de # Y # richting heeft een grotere waarde dan de #X#, dus de ellips zal uitgerekt worden in de # Y # richting. # k ^ 2> h ^ 2 #
De hoekpunten worden verkregen door vanuit het midden de hoofdas omhoog te bewegen. D.w.z # + - sqrt (k) # toegevoegd aan de y-coördinaat van het midden.
Dit geeft # (2, 1/2) en (2, -5/2) #.
De co-vertices liggen op de secundaire as. We voegen toe # + - sqrt (h) # naar de x-coördinaat van het centrum om deze te vinden.
# (1, -1) en (3, -1) #
Nu, om de foci te vinden:
# c ^ 2 = k ^ 2 - h ^ 2 #
# c ^ 2 = 9/4 - 1 #
# c ^ 2 = 5/4 impliceert c = + -sqrt (5) / 2 #
Foci zal langs de lijn liggen #x = 2 # op # + - sqrt (5) / 2 # van #y = -1 #.
# Dus # foci op # (2, (-2 + sqrt (5)) / 2) en (2, (- 2-sqrt (5)) / 2) #
Eindelijk wordt de excentriciteit gevonden met behulp van
# E = sqrt (1-h ^ 2 / k ^ 2) #
# e = sqrt (1-1 / (9/4)) = sqrt (1-4 / 9) = sqrt (5) / 3 #
