Laat phi_n de behoorlijk genormaliseerde n-de energie eigen functie van de harmonische oscillator zijn, en laat psi = hatahata ^ (†) phi_n. Waar is psi gelijk aan?

Overweeg de harmonische oscillator Hamiltoniaan …

#hatH = hatp ^ 2 / (2mu) + 1 / 2muomega ^ 2hatx ^ 2 #

# = 1 / (2mu) (hatp ^ 2 + mu ^ 2omega ^ 2 hatx ^ 2) #

Bepaal nu de vervanging:

#hatx "'" = hatxsqrt (muomega) ##' '' '' '##hatp "'" = hatp / sqrt (muomega) #

Dit geeft:

#hatH = 1 / (2mu) (hatp "'" ^ 2 cdot muomega + mu ^ 2omega ^ 2 (hatx "'" ^ 2) / (muomega)) #

# = omega / 2 (hatp "'" ^ 2 + hatx "'" ^ 2) #

Bekijk vervolgens de vervanging waar:

#hatx "''" = (hatx "'") / sqrt (ℏ) ##' '' '' '##hatp "''" = (hatp "'") / sqrt (ℏ) #

zodat # hatx "''", hatp "''" = hatx "''" hatp "''" - hatp "''" hatx "''" = i #. Dit geeft:

#hatH = omega / 2 (hatp "''" ^ 2cdotℏ + hatx "''" ^ 2cdotℏ) #

# = 1 / 2ℏomega (hatp "''" ^ 2 + hatx "''" ^ 2) #

Sinds #hatp " ''" ^ 2 # en #hatx " ''" ^ 2 # kan worden verwerkt in een product van complexe conjugaten, definieer de ladderoperators

#hata = (hatx "''" + ihatp "''") / sqrt2 ##' '' '' '## hata ^ (†) = (hatx "''" - ihatp "''") / sqrt2 #

zodat:

# hatahata ^ (†) = (hatx "''" ^ 2 - ihatx "''" hatp "''" + ihatp "''" hatx "''" + hatp "''" ^ 2) / 2 #

# = (hatx "''" ^ 2 + hatp "''" ^ 2) / 2 + (i hatp "''", hatx "''")) / 2 #

Sinds # - hatx "''", hatp "''" = hatp "''", hatx "''" = -i #, de meest rechtse term is #1/2#. Door inspectie,

#hatH = ℏomega (hatahata ^ (†) - 1/2) #

Dat kan worden aangetoond # hata, hata ^ (†) = 1 #, dus

# hatahata ^ (†) - hata ^ (†) hata = 1 #

# => hatahata ^ (†) = 1 + hata ^ (†) hata #

en dus:

#color (groen) (hatH = ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2)) #

Hier herkennen we de vorm van de energie zijn:

#E_n = ℏomega (n + 1/2) #

omdat het duidelijk is uit deze vorm dat met

#hatHphi_n = Ephi_n #,

we hebben dat gewoon

# ℏomega (hata ^ (†) hata + 1/2) phi_n = ℏomega (n + 1/2) phi_n #

Dus, de nummer operator kan worden gedefinieerd als:

#hatN = hata ^ (†) hata #

waarvan de eigenwaarde het kwantumnummer is # N # voor die eigentoestand.

Vandaar,

#color (blauw) (psi_n = hatahata ^ (†) phi_n) #

# = (1 + hata ^ (†) hata) phi_n #

# = (1 + hatN) phi_n #

# = kleur (blauw) ((1 + n) phi_n) #

Gebruik ratio en verhouding ... help me deze op te lossen. 12 mijl is ongeveer gelijk aan 6 kilometer. (a) Hoeveel kilometer zijn gelijk aan 18 mijl? (b) Hoeveel mijlen zijn gelijk aan 42 kilometer?

A 36 km B. 21 mijl De verhouding is 6/12, die kan worden teruggebracht tot 1 mijl / 2 km dus (2 km) / (1 m) = (x km) / (18 m) Vermenigvuldig beide zijden met 18 mijl ( 2km) / (1m) xx 18 m = (x km) / (18 m) xx 18 m de kilometers verdelen elkaar en verlaten 2 km xx 18 = x 36 km = x de verhouding rond voor deel b geeft (1 m) / (2 km) = (xm) / (42 km) Vermenigvuldig beide zijden met 42 km (1 m) / (2 km) xx 42 km = (xm) / (42 km) xx 42 km De km verdelen zich 21 m = xm

Een lijn met de beste fit voorspelt dat wanneer x gelijk is aan 35, y gelijk is aan 34,785, maar y gelijk is aan 37. Wat is in dit geval de rest?

2.215 Residu wordt gedefinieerd als e = y - hat y = 37 - 34.785 = 2.215

Wat zijn kenmerken van de grafiek van de functie f (x) = (x + 1) ^ 2 + 2? Vink alles aan wat van toepassing is. Het domein bestaat uit echte cijfers. Het bereik is alle reële getallen groter dan of gelijk aan 1. Het y-snijpunt is 3. De grafiek van de functie is 1 eenheid omhoog en

Eerste en derde zijn waar, tweede is fout, vierde is onvoltooid. - Het domein is inderdaad alle echte cijfers. Je kunt deze functie herschrijven als x ^ 2 + 2x + 3, wat een polynoom is, en als dusdanig domein mathbb {R} heeft. Het bereik is niet allemaal reëel getal groter dan of gelijk aan 1, omdat het minimum 2 is. feit. (x + 1) ^ 2 is een horizontale vertaling (een eenheid over) van de "strandard" parabool x ^ 2, die een bereik [0, infty) heeft. Wanneer u 2 toevoegt, verschuift u de grafiek verticaal met twee eenheden, dus het u-bereik is [2, infty) Om het y-snijpunt te berekenen, plugt u gewoon x = 0 in