Wat zijn de asymptote (n) en hole (s), indien aanwezig, van f (x) = ((x-3) (x + 2) * x) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3- 3x ^ 2)?

Antwoord:

# X = 0 # is een asymptoot.

# X = 1 # is een asymptoot.

#(3, 5/18)# is een gat.

Uitleg:

Laten we eerst onze breuk vereenvoudigen zonder iets op te heffen (aangezien we limieten gaan nemen en dingen annuleren die daar misschien mee rotzooien).

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x ^ 2-x) (x ^ 3-3x ^ 2)) #

#f (x) = ((x-3) (x + 2) (x)) / ((x) (x-1) (x ^ 2) (x-3)) #

#f (x) = (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3) #

Nu: gaten en asymptoten zijn waarden die een functie ongedefinieerd maken. Aangezien we een rationale functie hebben, zal het ongedefinieerd zijn als en alleen als de noemer gelijk is aan 0. We hoeven daarom alleen de waarden van #X# die de noemer maken #0#, welke zijn:

# X = 0 #

# X = 1 #

# X = 3 #

Om uit te vinden of dit asymptoten of gaten zijn, laten we de limiet van nemen #f (x) # zoals #X# benadert elk van deze nummers.

#lim_ (x-> 0) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 0) ((x-3) (x + 2)) / (x ^ 2 (x-1) (x-3)) #

# = (-3 * 2) / (0 * (- 1) * (- 3)) = + -oo #

Zo # X = 0 # is een asymptoot.

#lim_ (x-> 1) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = (1 * (- 2) * 3) / (1 * 0 * (- 2)) = + -oo #

Zo # X = 1 # is een asymptoot.

#lim_ (x-> 3) (x (x-3) (x + 2)) / (x ^ 3 (x-1) (x-3)) = lim_ (x-> 3) ((x + 2)) / (x ^ 2 (x-1)) #

#= 5/(9*2) = 5/18#

Zo #(3, 5/18)# is een gat in #f (x) #.

Definitieve antwoord