Aantal waarden van de parameter alpha in [0, 2pi] waarvoor de kwadratische functie, (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) is het kwadraat van een lineaire functie is ? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 1

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

Als we weten dat de uitdrukking dan het vierkant van een lineaire vorm moet zijn

# (sin alpha) x ^ 2 + 2 cos alpha x + 1/2 (cos alpha + sin alpha) = (ax + b) ^ 2 #

dan groeperen we coëfficiënten die we hebben

# (alpha ^ 2-sin (alpha)) x ^ 2 + (2ab-2cos alpha) x + b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0 #

dus de conditie is

# {(a ^ 2-sin (alpha) = 0), (ab-cos alpha = 0), (b ^ 2-1 / 2 (sinalpha + cosalpha) = 0):} #

Dit kan worden opgelost door eerst de waarden te verkrijgen # A, b # en vervangen.

We weten dat # a ^ 2 + b ^ 2 = sin alpha + 1 / (sin alpha + cos alpha) # en

# a ^ 2b ^ 2 = cos ^ 2 alpha # Nu op te lossen

# Z ^ 2- (a ^ 2 + b ^ 2) z + a ^ 2b ^ 2 = 0 #. Oplossen en vervangen # a ^ 2 = sinalpha # we verkrijgen

#a = b = pm 1 / root (4) (2), alpha = pi / 4 #

#a = pm sqrt (2) / root (4) (5), b = pm 1 / (sqrt (2) root (4) (5)), alpha = pi-tan ^ -1 (2) #