Vind je de maximale hoogte die de Pohutukawa-boom naar verwachting in cm zal bereiken?

Antwoord:

Hoogte na 5 jaar: 276cm

Bewerk

Maximale hoogte: 926cm.

Uitleg:

De groei van de boom over een periode van n jaar is

# 86 + 42 * 0.95 ^ 0 + 42 * 0.95 ^ 1 +… + 42 * 0.95 ^ (n-1) #

#r = 0.95 #

#a = 42 #

De som van een geometrische progressie is, #S_n = (a (1-r ^ n)) / (1-r) #,

Daarom is de hoogte in 5 jaar 190.02cm + de eerste 86cm = 276cm.

Bewerk Ik zie dat je de vraag hebt veranderd om te vragen naar de maximale hoogte van de boom. In dit geval de formule

#S_n = a / (1-r) # kan dus worden gebruikt

#42/(1-0.95) = 840#

Toegevoegd aan de initiële hoogte van 86 cm, geeft 926cm.

Antwoord:

926cm

Uitleg:

Dit heeft een dubbele controle nodig …

De boom begint op 86cm. Het eerste jaar zal de boom zijn:

# 86cm + 42cm #

Jaar twee, de boom zal zijn # 86cm + 42cm + 42cm (0,95) #

Jaar drie zal de boom zijn # 86cm + 42cm + 42cm (0,95) + 42 cm (0,95) (. 95) #

Dit gaat jaar na jaar zo door. Een van de dingen die we kunnen doen is de 42 weglaten, dus onze boom ziet er zo uit:

# 86cm + 42cm (1 + (. 95) + (. 95) (. 95) + …) #

Al deze (.95) voorwaarden (zelfs de 1) kunnen worden geschreven als exponenten van (.95), dus:

# 86cm + 42cm ((. 95) ^ + 0 (. 95) ^ 1 + (. 95) ^ 2 + … + (. 95) ^ n) #

Als u de optelling van de (.95) exponentiële termen berekent, krijgt u 20

# "_ 0 ^ oosum.95 ^ n = 20 # (Iemand controleer notatie / wiskunde!)

Daarom is de maximale hoogte van de boom (H):

# H = 86cm + 42cm (20) = 926cm #

Antwoord:

# 926 "centimeter" #

Uitleg:

# {: ("beginhoogte (cm):", 86), ("hoogte na 1 jaar:", 86+ (42)), ("hoogte na 2 jaar:", 86+ (42) + (42 * 0.95)), ("hoogte na 3 jaar:", 86+ (42 * 0.95) + ((42 * 0.95) * 0.95)), (,), ("hoogte na" n "jaar:", 86 + Sigma_ (y = 0) ^ n 42 * 0.95 ^ y):} #

De algemene formule voor een convergerende geometrische reeks is

#color (wit) ("XXX") S = Sigma_ (i = 0) ^ oo ai = (a_0) / (1-r) #

waar # R # is de gemeenschappelijke ratio (opmerking voor convergentie #abs (r) <1 #)

en # A_i # is de # I ^ "th" # looptijd van de serie (met # A_0 # zijnde de beginwaarde.

In dit geval # a_0 = 42 "cm." # en # R = 0,95 #

Dus de uiteindelijke (maximale) hoogte zal zijn

#color (wit) ("XXX") S = 86 + (42 "cm") / (1-0.95) #

#color (wit) ("XXX") = 86 + (42 "cm") / (0.05) #

#color (wit) ("XXX") = 86 + 42 "cm" xx20 #

#color (wit) ("XXX") = 86 + 840 "cm" #

#color (wit) ("XXX") = 926 "cm" #