T_n (x) is het Chebysjev-polynoom van graad n. De FCF cosh_ (cf) (T_n (x); T_n (x)) = cosh (T_n (x) + (T_n (x)) / cosh (T_n (x) + ...)), x> = 1. Hoe bewijs je dat de 18-voudige waarde van deze FCF voor n = 2, x = 1,25, # 6.00560689395441650 is?

Antwoord:

Zie de uitleg en de super socratische grafieken voor deze gecompliceerde FCF

Uitleg:

y is een hyperbolische cosinuswaarde, en dus #abs y> = 1 # en de FCF

grafiek is symmetrisch ten opzichte van de y-as.

# T_2 (x) = 2 x ^ 2-1 #

De FCF wordt gegenereerd door

# Y = cosh (T_2 (x) (1 + 1 / y)) #

Een discreet analoog voor het benaderen van y is het niet-lineaire verschil

vergelijking

# Y_n = cosh ((2x ^ 2-1) (1 + 1 / y_ (n-1))) #.

Hier, x = 1,25.

37 iteraties maken, met starter # y_0 = cosh (1) = 1.54308.. #, lange precisie 18-sd y = 18-sd

# y_37 = 6.00560689395441650 #

met # Deltay_36 = y_37-y_36 = 0 #, voor deze precisie.

graph {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) (x-1,25) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2-.001) = 0 -2 2 0 10)}

Grafiek voor 6-sd in y (1.25) = 6.00561:

graph {(2x ^ 2-1- (y / (1 + y)) ln (y + (y ^ 2-1) ^ 0,5)) ((x-1,25) ^ 2 + (y-6) ^ 2. 001) = 0 1.2499998 1.2500001 6.0056 6.00561}

Ik verwacht toepassingen van dit type FCF op de computer

benaderingen.

Observeer dat, ondanks dat het een even functie is, in het midden, de

grafiek ontbreekt, en dit is discontinuïteit.