Bij het doen van langrage-multipliers voor calculus 3 ... laten we zeggen dat ik al mijn kritieke punten heb gevonden en dat ik er een waarde uit heb gekregen. hoe weet ik of het een min of max waarde is?

Antwoord:

Een mogelijke manier is de Hessiaan (2e afgeleide test)

Uitleg:

Gewoonlijk om te controleren of de kritieke punten minuten of maxes zijn, zult u vaak de Second Derivative Test gebruiken, waarvoor u 4 gedeeltelijke derivaten moet vinden, ervan uitgaande dat #f (x, y) #:

#f _ { "xx"} (x, y) #, #f _ { "xy"} (x, y) #, #f _ { "YX"} (x, y) #, en #f _ { "yy"} (x, y) #

Merk op dat als beide #f _ { "xy"} # en #f _ { "YX"} # zijn continu in een interessegebied, ze zullen gelijk zijn.

Zodra je die 4 hebt gedefinieerd, kun je een speciale matrix gebruiken die de Hessiaan wordt genoemd om de determinant van die matrix te vinden (wat, verwarrend genoeg, vaak ook de Hessiaan wordt genoemd), die je wat informatie zal geven over de aard van het punt. Definieer de Hessian Matrix dus als:

#H = | (f_ {"xx"} kleur (wit) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} kleur (wit) (, aa) f_ {yy}) | #

Zodra u die matrix hebt ingesteld (en het zal een "functiematrix" zijn, omdat de inhoud functies van x en y zijn), kunt u vervolgens een van uw kritieke punten nemen en de gehele matrixdeterminant evalueren. Namelijk:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Afhankelijk van de resultaten van die berekening, kunt u de aard van het kritieke punt leren kennen:

Als # H> 0 #, er is een min / max op dat moment. Controleer het teken van #f _ { "xx"} #. Als het positief is, is het punt een min. Als het negatief is, is het punt een max. (Dit is analoog aan de "traditionele" 2e afgeleide test voor enkelvoudige variabele functies van x.)

Als # H <0 #er is op dat moment een zadelpunt.

Als #H = 0 #, de test is niet doorslaggevend en u moet op andere manieren vertrouwen, zoals een grafiek van de functie om visueel te bepalen.