Wat is het orthocentrum van een driehoek met hoeken op (9, 7), (4, 4) en (8, 6) #?

Antwoord:

Zie hieronder.

Uitleg:

We zullen de hoekpunten noemen # A = (4,4) #, # B = (9,7) # en # C = (8,6) #.

We moeten twee vergelijkingen vinden die loodrecht op twee zijden staan en door twee van de hoekpunten gaan. We kunnen de helling van twee van de zijden en dus de helling van de twee van de loodrechte lijnen vinden.

Helling van AB:

#(7-4)/(9-4)=3/5#

Helling loodrecht hierop:

#-5/3#

Dit moet door vertex C gaan, dus de vergelijking is:

# Y-6 = -5/3 (x-8) #, # 3y = -5x + 58 # 1

Helling van BC:

#(6-7)/(8-9)=1#

Helling loodrecht hierop:

#-1#

Dit moet door vertex A gaan, dus de vergelijking is:

# Y-4 = - (x-4) #, # Y = -x + 8 # 2

Waar 1 en 2 elkaar kruisen is het orthocenter.

1 en 2 gelijktijdig oplossen:

# 3 (-x + 8) = - 5 x 58 + #

# -3x + 24 = 58 + -5x #

# -3x + 24 = 5x + 58 => x = 34/2 = 17 #

Met behulp van 2:

# Y = -17 + 8 = -9 #

orthocenter:

#(17, -9)#

Omdat de driehoek stompt, bevindt het orthocentrum zich buiten de driehoek. dit is te zien als je de hoogtelijnen verlengt totdat ze elkaar kruisen.

Antwoord:

orthocenter

# x_0 = 17, y_0 = -9 #

circumcenter

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Uitleg:

orthocenter

Gegeven # p_1, p_2, p_3 # en

#vec v_ (12), vec v_ (13), vec v_ (23) # zoals dat

# << vec v_ (12), p_2-p_1 >> = << vec v_ (13), p_3-p_1 >> = << vec v_ (23), p_3-p_2 >> = 0 #

Die vectoren zijn gemakkelijk te verkrijgen, bijvoorbeeld

# p_1 = (x_1, y_1) # en # p_2 = (x_2, y_2) # en dan

#vec v_ (12) = (y_1-y_2, - (x_1-x_2)) #

Nu hebben we

# L_1 -> p_1 + lambda_1 vec v_ (23) #

# L_2-> p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

# L_3-> p_3 + lambda_3 vec v_ (12) #

Die drie lijnen kruisen elkaar in het orthocentrum van de driehoek

kiezen # L_1, L_2 # wij hebben

# (x_0, y_0) = "arg" (L_1 nn L_2) # of

# p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) #

de vergelijkingen geven

# {(<< vec v_ (13), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (13), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (13) >>), (<< vec v_ (23), vec v_ (23) >> lambda_1- << vec v_ (23), vec v_ (13) >> lambda_2 = << p_2-p_1, vec v_ (23) >>):} #

Nu op te lossen # Lambda_1, lambda_2 # wij hebben

# lambda_1 = -4, lambda_2 = -13 #

en dan

# p_0 = p_1 + lambda_1 vec v_ (23) = p_2 + lambda_2 vec v_ (13) = (17, -9) #

circumcenter

De omtrekvergelijking wordt gegeven door

# C-> x ^ 2 + y ^ 2-2x x_0-2y y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0 #

nu als # {p_1, p_2, p_3} in C # wij hebben

# {(x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2-2x_1 x_0-2y_1 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2-2x_2 x_0-2y_2 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2-2x_3 x_0-2y_3 y_0 + x_0 ^ 2 + y_0 ^ 2-r ^ 2 = 0):} #

aftrekken van de eerste van de tweede

# x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_2-x_1) -2y_0 (y_2-y_1) = 0 #

aftrekken van de eerste van de derde

# x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2) -2x_0 (x_3-x_1) -2y_0 (y_3-y_1) = 0 #

het systeem van vergelijkingen geven

# ((x_2-x_1, y_2-y_1), (x_3-x_1, y_3-y_1)) ((x_0), (y_0)) = 1/2 ((x_2 ^ 2 + y_2 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2)), (x_3 ^ 2 + y_3 ^ 2- (x_1 ^ 2 + y_1 ^ 2))) #

Nu vervangen door de gegeven waarden die we krijgen

# X_0 = 2, y_0 = 13 #

Bijgevoegd een plot met het orthocenter (rood) en het circumcentercenter (blauw).