Het aantal manieren waarop een examinator 30 punten kan toekennen aan 8 vragen van niet minder dan 2 punten voor een vraag is?

Antwoord:

#259459200#

Uitleg:

Als ik dit goed lees, dan kan de examinator alleen tekens in veelvouden van 2 toekennen. Dit zou dan betekenen dat er slechts 15 keuzes zijn uit de 30 punten.i.e. #30/2 = 15#

Dan hebben we 15 keuzes verdeeld over de 8 vragen.

De formule gebruiken voor permutaties:

# (n!) / ((n - r)!) #

Waar # N # is het aantal objecten (in dit geval de tekens in groepen van 2).

En # R # is hoeveel er tegelijkertijd worden genomen (in dit geval de 8 vragen)

Dus we hebben:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Antwoord:

Er zijn # "" _ 21C_14 # (of 116.280) manieren.

Uitleg:

We beginnen met 30 punten in de "bank" om te geven. Omdat alle vragen minstens 2 punten waard zijn, nemen we # 2 xx 8 = 16 # merken van de #30# en verdelen ze gelijk. Nu heeft elke vraag er 2 (tot nu toe) en de "bank" blijft over #30-16=14# marks.

Nu moeten we alleen nog het aantal manieren vinden om de resterende 14 punten van de 8 vragen op te splitsen. In eerste instantie lijkt dit misschien heel moeilijk, maar er is een truc die het veel intuïtiever maakt.

Laten we de dingen even vereenvoudigen. Wat als we slechts 2 vragen hadden en 14 punten om te splitsen? Hoeveel manieren kunnen we doen? Nou, we zouden de cijfers kunnen splitsen als 14 + 0, of 13 + 1, of 12 + 2, enz. … of 1 + 13, of 0 + 14. Met andere woorden, als we slechts 1 splitsen hoeven in te voeren (tussen 2 vragen), we krijgen 15 manieren om het te doen.

Dit is hetzelfde als vragen: "Hoeveel unieke manieren kunnen we 14 gele knikkers (de tekens) en 1 blauw marmer (de vraagsplitser) achter elkaar ordenen?" Het antwoord hierop wordt gevonden door het aantal permutaties van alle 15 knikkers (dat is #15!#), en vervolgens te delen door het aantal manieren om beide gele knikkers te permuteren #(14!)# en blauwe knikkers #(1!)#omdat het binnen elke rangschikking niet uitmaakt in welke volgorde de identieke knikkers verschijnen.

Dus als er 14 gele knikkers (markeringen) en 1 blauw marmer (vraagsplitser) zijn, zijn die er

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Annuleren (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 manieren om de knikkers te ordenen (de markeringen splitsen). Opmerking: dit is gelijk aan # "" _ 15C_14 #.

Laten we nog een blauw marmer introduceren, dat wil zeggen een tweede splitsing of een derde vraag om de markeringen aan te geven. Nu hebben we 16 totale knikkers, en we willen weten hoeveel unieke manieren we kunnen regelen. Net als voorheen nemen we de #16!# manieren om alle knikkers te ordenen, en dan uit te splitsen door de manieren om zowel de gele te permuteren #(14!)# en de blauwe #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Annuleren (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Er zijn dus 120 manieren om 14 punten te splitsen tussen 3 vragen. Dit is ook gelijk aan # "" _ 16C_14 #.

Ondertussen zul je merken waar we naartoe gaan. Het nummer links van de # C # is gelijk aan het aantal markeringen dat we splitsen (gele knikkers) plus het aantal splitters (blauwe knikkers). Het aantal splitters is altijd een minder dan het aantal vragen. Het nummer rechts van de # C # blijft het aantal markeringen.

Dus, om de resterende 14 punten te splitsen over alle 8 vragen (waarvoor 7 splitters nodig zijn), berekenen we

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (wit) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (wit) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116280" #

Er zijn dus 116.280 manieren om 30 punten toe te wijzen aan 8 vragen, waarbij elke vraag minstens 2 punten waard is.