Twee hoeken van een gelijkbenige driehoek staan op (7, 5) en (3, 6). Als het gebied van de driehoek 6 is, wat zijn de lengtes van de zijden van de driehoek?

Antwoord:

Er zijn een paar manieren om het te doen; de manier met de minste stappen wordt hieronder uitgelegd.

De vraag is dubbelzinnig over welke twee zijden dezelfde lengte hebben. In deze uitleg gaan we ervan uit dat de twee zijden van gelijke lengte degenen zijn die nog gevonden moeten worden.

Uitleg:

Eén lengte van de zijkant kunnen we alleen berekenen aan de hand van de coördinaten die we hebben gekregen.

# A = sqrt ((7-3) ^ 2 + (5-6) ^ 2) #

# A = sqrt (4 ^ 2 + (- 1) ^ 2) #

# A = sqrt (16 + 1) #

# A = sqrt17 #

Dan kunnen we de formule voor het gebied van een driehoek gebruiken in termen van de lengte van de zijkanten om erachter te komen # B # en # C #.

# A = sqrt (B (B-a) (B-b) (B-C)) #

waar # S = (a + b + c) / 2 # (genaamd de semiperimeter)

Sinds # A = sqrt (17) # is bekend en we nemen aan # B = c #, wij hebben

# S = (sqrt17 + b + b) / 2 #

#color (rood) (s = sqrt17 / 2 + b) #

Dit wordt ook vervangen door de bovenstaande gebiedsformule # A = 6 # en # A = sqrt17 #, we krijgen

# 6 = sqrt (((rood) (sqrt (17) / 2 + b)) ((rood) (sqrt (17) / 2 + b) -sqrt17) (kleur (rood) (sqrt (17) / 2 + b) -b) (kleur (rood) (sqrt (17) / 2 + b) -b)) #

# 6 = sqrt ((sqrt (17) / 2 + b) (- sqrt (17) / 2 + b) (sqrt (17) / 2) (sqrt (17) / 2)) #

# 6 = (sqrt (17) / 2) sqrt ((b + sqrt (17) / 2) (b-sqrt (17) / 2)) #

# 12 / sqrt17 = sqrt (b ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2) #

# 144/17 = b ^ 2-17 / 4 #

# 144/17 + 17/4 = b ^ 2 #

# 576/68 + 289/68 = b ^ 2 #

# 865/68 = b ^ 2 #

# B = sqrt (865/68) = C #

Onze oplossing is # a = sqrt (17), b = c = sqrt (865/68) #.

Voetnoot 1:

Het is mogelijk om een driehoek te hebben met twee zijden van lengte #sqrt (17) # en gebied # A = 6 # (dat wil zeggen hebben # A = b = sqrt (17) # in plaats van # B = c #). Dit zal tot een andere oplossing leiden.

Voetnoot 2:

We hadden deze vraag ook kunnen oplossen door de coördinaten van het derde punt te vinden. Dit zou het volgende inhouden:

a) het vinden van de lengte van de bekende zijde #een#

b) het vinden van de helling # M # tussen de twee gegeven punten

c) het vinden van het middelpunt # (X_1, y_1) # tussen de twee gegeven punten

d) het vinden van de "hoogte" # H # van deze driehoek gebruiken # A = 1/2 ah #

e) het vinden van de helling van de hoogte met behulp van #m_h = (- 1) / m #

f) met behulp van zowel de hellingspuntformule # M_h = (y_2-y_1) / (x_2-x_1) # en de hoogte-formule # H = sqrt ((y_2-y_1) ^ 2 + (x_2-x_1) ^ 2) # om op te lossen voor een van de coördinaten van het derde punt # (X_2, y_2) #

g) na het combineren van deze twee vergelijkingen, waardoor de opbrengsten worden vereenvoudigd

# X_2 = h / (sqrt (m_h ^ 2 + 1)) + x_1 #

h) het aansluiten van de bekende waarden voor # H #, # M_h #, en # X_1 # te krijgen # X_2 #

i) gebruik een van de twee vergelijkingen in (f) om te vinden # Y_2 #

j) gebruik de afstandsformule om de resterende (identieke) zijlengtes te vinden

# B = c = sqrt ((x_2-3) ^ 2 + (y_2-6) ^ 2) = sqrt ((x_2-7) ^ 2 + (y_2-5) ^ 2) #

U kunt zien waarom de eerste methode eenvoudiger is.