Wat is de absolute extrema van f (x) = cos (1 / x) -xsin (1 / x) in [-1 / pi, 1 / pi]?

Antwoord:

Er bestaat een oneindig aantal relatieve extrema's #x in -1 / pi, 1 / pi # zijn bij #f (x) = + - 1 #

Uitleg:

Laten we eerst de eindpunten van het interval aansluiten # - 1 / pi, 1 / pi # in de functie om het eindgedrag te zien.

#f (-1 / pi) = - 1 #

#f (1 / pi) = - 1 #

Vervolgens bepalen we de kritieke punten door de afgeleide gelijk aan nul in te stellen.

#f '(x) = 1 / x cos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -sin (1 / x) #

# 1 / x cos (1 / x) + 1 / (x ^ 2) sin (1 / x) -sin (1 / x) = 0 #

Helaas krijg je het volgende als je deze laatste vergelijking in een grafiek opneemt

Omdat de grafiek van het derivaat een oneindig aantal wortels heeft, heeft de oorspronkelijke functie een oneindig aantal lokale extremen. Dit is ook te zien aan de hand van de grafiek van de oorspronkelijke functie.

Geen van hen overtreft echter ooit #+-1#

Wat is de absolute extrema van f (x) = sin (x) - cos (x) op het interval [-pi, pi]?

Wat is de absolute extrema van y = cos ^ 2 x - sin ^ 2 x op het interval [-2,2]?

Cos ^ 2x-sin ^ 2x = cos (2x) met een maximale waarde van 1 (bij x = 0) en een minimumwaarde van -1 (bij 2x = pi dus x = pi / 2)

Welke stelling garandeert het bestaan van een absolute maximumwaarde en een absolute minimumwaarde voor f?

Over het algemeen is er geen garantie voor het bestaan van een absolute maximum- of minimumwaarde van f. Als f continu is op een gesloten interval [a, b] (dat wil zeggen: op een gesloten en begrensd interval), garandeert de extreme-waarde-stelling het bestaan van een absolute maximum- of minimumwaarde van f op het interval [a, b] .