Laat zien dat als p, q, r, s een reëel getal zijn en pr = 2 (q + s), dan op zijn minst een van de vergelijkingen x ^ 2 + px + q = 0 en x ^ 2 + rx + s = 0 heeft echte wortels?

Antwoord:

Zie onder.

Uitleg:

De discriminant van # X ^ 2 + px + q = 0 # is # Delta_1 = p ^ 2-4q #

en dat van # X ^ 2 + rx + s = 0 # is # Delta_2 = r ^ 2-4s #

en # Delta_1 + Delta_2 = p ^ r ^ 2-4q + 2-4s #

= # P ^ 2 + r ^ 2-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2pr-4 (q + s) #

= # (P + r) ^ 2-2 pr-2 (q + s) #

en als # Pr = 2 (q + s) #, wij hebben # Delta_1 + Delta_2 = (p + r) ^ 2 #

Als de som van de twee discriminanten positief is, minstens één van hen zou positief zijn

en dus tenminste één van de vergelijkingen # X ^ 2 + px + q = 0 # en # X ^ 2 + rx + s = 0 # heeft echte wortels.