U stort $ 200 op een spaarrekening. Voor elk jaar daarna, bent u van plan 15% meer te storten dan het jaar ervoor. Hoeveel geld heb je na 20 jaar gestort?

Antwoord:

# $ kleur (wit) (l) 20488.72 #

Uitleg:

Bedragen die de persoon in kwestie jaarlijks stort

• # $ kleur (wit) (l) 200 # in de eerste # 1 "st" # jaar,
• # (1 + 15%) xx $ kleur (wit) (l) 200 # in de seconde # 2 "nd" # jaar,
• # (1 + 15%) ^ 2 xx $ kleur (wit) (l) 200 # in de derde # 3 "rd" # jaar,
• #cdot cdot cdot #
• # (1 + 15%) ^ 19 xx $ kleur (wit) (l) 200 # in de twintigste # 20 "th" # jaar,

vorm een geometrische reeks.

Een algemene formule geeft de som van de eerste #n "th" # termen van een geometrische reeks van gemeenschappelijke verhoudingen # R # en eerste termijn # A_1 #

#sum_ (i = 1) ^ (n) r ^ (i-1) xx a_1 = a_1 xx (1-r ^ n) / (1-r) #

De geometrische volgorde in deze vraag is

#r = 1 + 15% = 1,15 #

als zijn gemeenschappelijke ratio en

# a_1 = $ kleur (wit) (l) 200 #

als de eerste termijn, die gelijk is aan de aanbetaling in het eerste jaar.

De vraag is om de som van de eerste twintigste termen van deze reeks te vragen, implicerend # N = 20 #; substitueren # N #, # R #, en # A_1 # met hun respectieve waarden en het evalueren van de sommatie geeft

#sum_ (i = 1) ^ (20) 1.15 ^ (i-1) xx $ kleur (wit) (l) 200 = $ kleur (wit) (l) 200 xx (1-1.15 ^ 20) / (1- 1.15) = $ kleur (wit) (l) 20488.72 #

(afgerond tot op de twee decimalen)

Daarom zou de persoon hebben gestort # $ kleur (wit) (l) 20488.72 # in totaal in de twintig jaar.