Wat is het domein en bereik van de functie: x ^ 2 / (1 + x ^ 4)?

Antwoord:

Het domein is # (- oo, oo) # en het bereik #0, 1/2#

Uitleg:

Gegeven:

#f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Merk op dat voor elke echte waarde van #X#, de noemer # 1 + x ^ 4 # is niet nul.

Vandaar #f (x) # is goed gedefinieerd voor elke echte waarde van #X# en zijn domein is # (- oo, oo) #.

Om het bereik te bepalen, laat je:

#y = f (x) = x ^ 2 / (1 + x ^ 4) #

Vermenigvuldig beide einden met # 1 + x ^ 4 # te krijgen:

#y x ^ 4 + y = x ^ 2 #

aftrekken # X ^ 2 # van beide kanten kunnen we dit herschrijven als:

#y (x ^ 2) ^ 2- (x ^ 2) + y = 0 #

Dit zal alleen echte oplossingen hebben als de discriminant niet-negatief is. putting # A = y #, # B = -1 # en # C = y #, de discriminant #Delta# is gegeven door:

#Delta = b ^ 2-4ac = (-1) ^ 2-4 (y) (y) = 1-4y ^ 2 #

Dus we hebben het volgende nodig:

# 1-4y ^ 2> = 0 #

Vandaar:

# y ^ 2 <= 1/4 #

Zo # -1 / 2 <= y <= 1/2 #

Merk bovendien op dat #f (x)> = 0 # voor alle echte waarden van #X#.

Vandaar # 0 <= y <= 1/2 #

Dus het bereik van #f (x) # is #0, 1/2#