Dit is een trigonometrisch bewijs van een gegeneraliseerd geval, vraag is in het detailvak?

Antwoord:

Bewijs door inductie is hieronder.

Uitleg:

Laten we deze identiteit bewijzen door inductie.

A. Voor # N = 1 # we moeten dat controleren

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Inderdaad, met behulp van identiteit #cos (2 theta) = 2cos ^ 2 (theta) -1 #, we zien dat

# 2cos (2theta) +1 = 2 (2cos ^ 2 (theta) -1) +1 = 4cos ^ 2 (theta) -1 = #

# = (2cos (theta) -1) * (2cos (theta) 1) #

waaruit volgt

# (2cos (2theta) +1) / (2cos (theta) +1) = 2cos (theta) -1 #

Dus voor # N = 1 # onze identiteit is waar.

B. Stel dat de identiteit waar is voor # N #

Dus gaan we ervan uit

# (2cos (2 ^ ntheta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(symbool #Pi# wordt gebruikt voor product)

C. Laten we met bovenstaande aanname B de identiteit bewijzen # N + 1 #

We moeten dat bewijzen aan de hand van aanname B

# (2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1) / (2cos (theta) +1) = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(merk op dat de juiste grens voor een index van vermenigvuldiging is # N # nu).

BEWIJS

Een identiteit gebruiken #cos (2x) = 2cos 2 ^ (x) -1 # voor # X = 2 ^ ntheta #, # 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 = 2cos (2 * (2 ^ n * theta)) + 1 = #

# = 2 2cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 +1 = #

# = 4cos ^ 2 (2 ^ ntheta) -1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 #

Verdeel de begin- en einduitdrukkingen per # 2cos (theta) 1 #, krijgen

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * 2cos (2 ^ ntheta) +1 / 2cos (theta) +1 #

Nu gebruiken we veronderstelling B

# 2cos (2 ^ (n + 1) theta) +1 / 2cos (theta) +1 = #

# = 2cos (2 ^ ntheta) -1 * Pi _ (j in 0, n-1) 2cos (2 ^ jtheta) -1 = #

# = Pi _ (j in 0, n) 2cos (2 ^ jtheta) -1 #

(merk op dat het bereik van een index nu wordt uitgebreid tot # N #).

De laatste formule is precies hetzelfde voor # N + 1 # zoals origineel is voor # N #. Dat maakt het bewijs compleet door inductie dat onze formule waar is voor iedereen # N #.

Antwoord:

Zie het gedeelte Bewijs in Toelichting hieronder.

Uitleg:

Dit is equivalent om te bewijzen dat, # (2cosx + 1) (2cosx-1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) = (2cos2 ^ nx + 1) #

# "De L.H.S." = {(2cosx + 1) (2cosx-1)} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4cos ^ 2x-1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = {4 ((1 + cos2x) / 2) -1} (2cos2x-1) (2cos4x-1) …. (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos2x + 1) (2cos2x-1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (4cos ^ 2 (2x) -1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos (2 * 2x) 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos4x + 1) (2cos4x-1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# = (2cos8x + 1) … (2cos2 ^ (n-1) x-1) #

# Vdots #

# = {2cos (2 * 2 ^ (n-1) x) + 1)} #

# = (Nx 2cos2 ^ + 1) #

# = "de R.H.S." #

Geniet van wiskunde.!