Antwoord:
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) # voor #b in RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) # voor #b = | b | e ^ (itheta) in CC #
Uitleg:
Door de fundamentele stelling van algebra kunnen we de gegeven uitdrukking als factor gebruiken
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 1) ^ 8 (a-alpha_k) #
waar elk # Alpha_k # is een root van # 8 x ^ + b ^ 8 #.
Oplossen voor # Alpha_k #, we krijgen
# x ^ 8 + b ^ 8 = 0 #
# => x ^ 8 = -b ^ 8 #
# => x = (-b ^ 8) ^ (1/8) #
# = | B | (-1) ^ (1/8) # (ervan uitgaande dat #b in RR #)
# = | B | (e ^ (i (pi + 2pik))) ^ (1/8) #
# = | b | e ^ (ipi ((2k + 1) / 8), k in ZZ #
Zoals #k in {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} # rekeningen van alle unieke waarden van die vorm, krijgen we onze ontbinding als, voor #b in RR #
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (2k + 1) / 8)) #
Voor een meer algemeen #b in CC #, dan veronderstel #b = | b | e ^ (itheta) #, we kunnen vergelijkbare berekeningen doornemen om te vinden
# (- b ^ 8) ^ (1/8) = | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8)) #
betekenis
# a ^ 8 + b ^ 8 = prod_ (k = 0) ^ 7 (a- | b | e ^ (ipi (theta / pi + (2k + 1) / 8))) #
Sorry, ik zie een aantal kleine details over het hoofd, het antwoord van sente is correct.
aangenomen #b ne 0 # en # a, b in RR # wij hebben
# (a / b) ^ 8 = -1 = e ^ (ipi + 2kpi) # dan
# A / b = e ^ (i (2k + 1) pi / 8) # dan
# a-b e ^ (i (2k + 1) pi / 8) = 0 # zijn de # K = 0,1, cdots 7 # wortels of factoren.
Bepalen
#p (k) = a-be ^ (i (2k + 1) pi / 8) #
en dan
# f_1 = p (1) p (6) = a ^ 2 - (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_2 = p (2) p (5) = a ^ 2 + (sqrt 2 - sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_3 = p (3) p (4) = a ^ 2 + (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
# f_4 = p (0) p (7) = a ^ 2 - (sqrt 2 + sqrt 2) a b + b ^ 2 #
zo
# a ^ 8 + b ^ 8 = f_1 f_2 f_3 f_4 # met echte coëfficiënten.
