Twee getallen verschillen met 3. De som van hun reciprocals is zeven tienden. Hoe vind je de nummers?

Antwoord:

Er zijn twee oplossingen voor een probleem:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

Uitleg:

Dit is een typisch probleem dat kan worden opgelost met behulp van een systeem van twee vergelijkingen met twee onbekende variabelen.

Laat de eerste onbekende variabele zijn #X# en de tweede # Y #.

Het verschil tussen hen is #3#, wat resulteert in de vergelijking:

(1) # X-y = 3 #

Hun reciprocals zijn # 1 / x # en # 1 / y #, de som daarvan is #7/10#, wat resulteert in de vergelijking:

(2) # 1 / x + 1 / y = 7/10 #

Overigens vereist het bestaan van reciprocals de beperkingen:

#x! = 0 # en #Y! = 0 #.

Om dit systeem op te lossen, laten we de substitutiemethode gebruiken.

Uit de eerste vergelijking die we kunnen uitdrukken #X# aangaande met # Y # en substitueer in de tweede vergelijking.

Uit vergelijking (1) kunnen we afleiden:

(3) #x = y + 3 #

Vervangen door vergelijking (2):

(4) # 1 / (y + 3) + 1 / y = 7/10 #

Overigens vereist dit nog een beperking:

# Y + 3! = 0 #, dat is #Y = -! 3 #.

De gemeenschappelijke noemer gebruiken # 10y (y + 3) # en alleen rekening houdend met tellers, transformeren we vergelijking (4) in:

# 10j + 10 (y + 3) = 7j (y + 3) #

Dit is een kwadratische vergelijking die herschreven kan worden als:

20y # + 30 = 7j ^ 2 + 21y # of

# 7j ^ 2 + y-30 = 0 #

Twee oplossingen voor deze vergelijking zijn:

#y_ (1,2) = (- 1 + -sqrt (1 + 840)) / 14 #

of

#y_ (1,2) = (- 1 + -29) / 14 #

Dus we hebben twee oplossingen voor # Y #:

# Y_1 = 2 # en # Y_2 = -30 / 14 = -15/7 #

Op overeenkomstige wijze, met # X = y + 3 #, we concluderen dat er twee oplossingen zijn voor een systeem:

# (x_1, y_1) = (5,2) #

# (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #

In beide gevallen #X# is groter dan # Y # door #3#, dus aan de eerste voorwaarde van een probleem is voldaan.

Laten we de tweede voorwaarde controleren:

(a) voor een oplossing # (x_1, y_1) = (5,2) #:

#1/5+1/2=(2+5)/(5*2)=7/10# - gecontroleerd

(b) voor een oplossing # (x_2, y_2) = (6/7, -15 / 7) #:

#7/6-7/15=70/60-28/60=42/60=7/10# - gecontroleerd

Beide oplossingen zijn correct.