Wat is de lokale extrema, indien aanwezig, van f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x?

Antwoord:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x # heeft een lokaal minimum voor # X = 1 # en een lokaal maximum voor # X = 3 #

Uitleg:

Wij hebben:

#f (x) = 2ln (x ^ 2 + 3) -x #

de functie is gedefinieerd in alle # RR # zoals # x ^ 2 + 3> 0 AA x #

We kunnen de kritieke punten identificeren door te vinden waar de eerste afgeleide gelijk is aan nul:

#f '(x) = (4x) / (x ^ 2 + 3) -1 = - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) #

# - (x ^ 2-4x + 3) / (x ^ 2 + 3) = 0 #

# x ^ 2-4x + 3 = 0 #

# x = 2 + -sqrt (4-3) = 2 + -1 #

dus de kritieke punten zijn:

# x_1 = 1 # en # x_2 = 3 #

Omdat de noemer altijd positief is, het teken van #f '(x) # is het tegenovergestelde van het teken van de teller # (X ^ 2-4x + 3) #

Nu weten we dat een tweede-orde polynoom met positieve leidende coëfficiënt positief is buiten het interval tussen de wortels en negatief in het interval tussen de wortels, zodat:

#f '(x) <0 # voor #x in (-oo, 1) # en #x in (3, + oo) #

#f '(x)> 0 # voor #x in (1,3) #

We hebben dat dan #f (x) # neemt af in # (- oo, 1) #, oplopend in #(1,3)#en weer afnemen # (3, oo +) #, zodat # x_1 = 1 # moet een lokaal minimum zijn en # X_2 = 3 # moet een lokaal maximum zijn.

grafiek {2ln (x ^ 2 + 3) -x -1,42, 8,58, -0,08, 4,92}