Wat is de cofactor-expansiemethode om de determinant te vinden?

Hallo !

Laat #A = (a_ {i, j}) # een matrix van grootte zijn #n keer n #.

Kies een kolom: het kolomnummer # J_0 # (Ik zal schrijven: "de # J_0 #-de kolom ").

De co-factor expansie formule (of formule van Laplace) voor de # J_0 #-de kolom is

# det (A) = sum_ {i = 1} ^ n a_ {i, j_0} (-1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} #

waar # Delta_ {i, j_0} # is de determinant van de matrix #EEN# zonder zijn #ik#-de regel en zijn # J_0 #-de kolom; zo, # Delta_ {i, j_0} # is een bepalende factor voor de grootte # (n-1) tijden (n-1) #.

Merk op dat het nummer # (- 1) ^ {i + j_0} Delta_ {i, j_0} # wordt genoemd cofactor van plaats # (I, j_0) #.

Misschien ziet het er ingewikkeld uit, maar het is eenvoudig te begrijpen met een voorbeeld. We willen berekenen # D #:

Als we ons ontwikkelen in de tweede kolom, krijg je

zo:

Tenslotte, D # = 0 #.

Om efficiënt te zijn, moet je een regel kiezen die veel nullen bevat: de som zal heel eenvoudig te berekenen zijn!

Opmerking. Omdat # det (A) = det (A ^ text {T}) #, je kunt ook een regel in plaats van een kolom kiezen. Dus, de formule wordt

# det (A) = sum_ {j = 1} ^ n a_ {i_0, j} (-1) ^ {i_0 + j} Delta_ {i_0, j} #

waar # I_0 # is het nummer van de geselecteerde regel.