Een bal wordt rechtstreeks neergelaten vanaf een hoogte van 12 voet. Bij het raken van de grond stuitert het terug 1/3 van de afstand die het viel. Hoe ver zal de bal reizen (zowel naar boven als naar beneden) voordat hij tot rust komt?

Antwoord:

De bal zal 24 voet reizen.

Uitleg:

Dit probleem vereist de overweging van oneindige reeksen. Overweeg het werkelijke gedrag van de bal:

Eerst valt de bal 12 voet.

Vervolgens kaatst de bal op #12/3 = 4# voeten.

De bal valt dan de 4 voet.

Bij elke opeenvolgende stuitering beweegt de bal

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # voeten, waar # N # is het aantal bounces

Dus, als we ons voorstellen dat de bal begint #n = 0 #, dan kan ons antwoord worden verkregen uit de meetkundige reeks:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Merk op #-12# correctieterm, dit is omdat als we starten # N = 0 # we tellen een 0e stuit van 12 voet omhoog en 12 voet naar beneden. In werkelijkheid reist de bal slechts de helft van dat, omdat het in de lucht begint.

We kunnen onze som vereenvoudigen tot:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Dit is slechts een eenvoudige geometrische reeks, die de regel volgt dat:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Zolang # | R | <1 #

Dit levert een eenvoudige oplossing voor ons probleem op:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# voeten.