Vraag # ecc3a

Antwoord:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Uitleg:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Antwoord:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Uitleg:

Wanneer we een kwadratische in de noemer hebben en nee #X#zit in de teller, we willen de integraal in de volgende vorm krijgen:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

In ons geval kunnen we dit doen door het vierkant te voltooien en vervolgens een vervanging te gebruiken.

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# X ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# K = 3/4 #

# X ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

We willen een u-vervanging introduceren, zodanig dat:

# (X + 1/2) ^ 2 = 3 / 4u ^ 2 #

We kunnen oplossen voor #X# om erachter te komen wat deze substitutie moet zijn:

# X + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# X = sqrt3 / 2u-1/2 #

Integreren met betrekking tot # U #, we vermenigvuldigen met de afgeleide van #X# rekeninghoudend met # U #:

# Dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3 / 4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

We kunnen nu oplossen voor # U # aangaande met #X# resubstitute:

# U = (2x + 1) / sqrt3 #

Dit betekent dat ons laatste antwoord is:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #