Wat is het domein en bereik van y = 4 / (x ^ 2-1)?

Antwoord:

Domein: # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #

bereik: # (- oo, -4 uu (0, oo) #

Uitleg:

Beste uitgelegd door de grafiek.

grafiek {4 / (x ^ 2-1) -5, 5, -10, 10}

We kunnen zien dat voor het domein de grafiek begint bij negatieve oneindigheid. Het raakt dan een verticale asymptoot op x = -1.

Dat is mooie wiskundespeech voor de grafiek is niet gedefinieerd op x = -1, want tegen die waarde hebben we #4/((-1)^2-1)# wat gelijk is aan #4/(1-1)# of #4/0#.

Omdat je niet kunt delen door nul, kun je geen punt hebben op x = -1, dus we houden het buiten het domein (onthoud dat het domein van een functie de verzameling is van alle x-waarden die een y-waarde).

Tussen -1 en 1 is alles in orde, dus we moeten het in het domein opnemen.

Het begint weer funky te worden bij x = 1. Nogmaals, wanneer u 1 voor x plugt, is het resultaat #4/0# dus we moeten dat uitsluiten van het domein.

Om het samen te vatten, het domein van de functie is van negatieve oneindig tot -1, dan van -1 naar 1 en dan naar oneindig. De wiskundige manier om dat uit te drukken is # (- oo, -1) uu (-1, 1) uu (1, oo) #.

Het bereik volgt hetzelfde idee: het is de verzameling van alle y-waarden van de functie. We kunnen aan de hand van de grafiek zien dat van negatieve oneindigheid tot -4 alles goed is.

Dan gaan de dingen naar het zuiden. Op y = -4, x = 0; maar dan, als je y = -3 probeert, krijg je geen x. Kijk maar:

# -3 = 4 / (x ^ 2-1) #

# -3 (x ^ 2-1) = 4 #

# x ^ 2-1 = -4 / 3 #

# x ^ 2 = -4 / 3 + 1 = -1 / 3 #

#x = sqrt (-1/3) #

Er bestaat niet zoiets als de vierkantswortel van een negatief getal. Dat zegt een aantal getallen in het kwadraat #-1/3#, wat onmogelijk is omdat het kwadrateren van een nummer altijd een positief resultaat heeft.

Dat betekent #Y = "-" 3 # is niet gedefinieerd en maakt dus geen deel uit van ons assortiment. Hetzelfde geldt voor alle y-waarden tussen 4 en 0.

Van 0 hierboven is alles goed tot in het oneindige. Ons bereik is dan negatief oneindig tot -4, dan 0 tot oneindig; in wiskundige termen, # (- oo, -4 uu (0, oo) #.

Over het algemeen moet je zoeken naar plaatsen waar dingen verdacht zijn om domein en bereik te vinden. Dat betekent meestal dingen als delen door nul, de vierkantswortel van een negatief getal, enz.

Wanneer u een punt als dit vindt, verwijdert u het uit het domein / bereik en bouwt u uw intervalnotatie op.