Bewijs sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) e ^ (iarctan (b / a)) = a + bi?

Antwoord:

In Explanation

Uitleg:

Op een normaal coördinatenvlak hebben we coördinaten zoals (1,2) en (3,4) en dat soort dingen. We kunnen deze coördinaten n termen van radii en hoeken opnieuw uitdrukken. Dus als we het punt (a, b) hebben, betekent dat dat we eenheden naar rechts gaan, b eenheden omhoog en #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # als de afstand tussen de oorsprong en het punt (a, b). ik zal bellen #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) = r #

Dus we hebben # Re ^ arctan (b / a) #

Om dit bewijs af te maken, laten we een formule terughalen.

# e ^ (itheta) = cos (theta) + isin (theta) #

De functie van lichtbruin geeft me een hoek die ook theta is.

Dus we hebben de volgende vergelijking:

# e ^ i * arctan (b / a) = cos (arctan (b / a)) + sin (arctan (b / a)) #

Laten we nu een rechthoekige driehoek tekenen.

De arctan van (b / a) vertelt me dat b de andere kant is en a de aangrenzende kant is. Dus als ik de cos van de arctan (b / a) wil, gebruiken we de stelling van Pythagoras om de hypotenusa te vinden. De hypotenusa is #sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #. Dus de cos (arctan (b / a)) = aangrenzend over hypotenusa = # A / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Het beste deel hiervan is het feit dat ditzelfde principe van toepassing is op sinus. Dus zonde (arctan (b / a)) = tegenovergestelde over hypotenusa = # B / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Dus nu kunnen we ons antwoord als volgt opnieuw uitdrukken: #R * ((a / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2)) + (bi / sqrt (a ^ 2 + b ^ 2))) #.

Maar onthoud #r = sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) # dus nu hebben we: #r * ((a / r) + (bi / r)) #. De r's annuleren en u blijft achter met het volgende: # A + bi #

daarom # (Re ^ ((arctan (b / a)))) = a + bi #