Hoe schrijf je een polynoom met functie van minimum graad in standaardvorm met reële coëfficiënten waarvan de nullen -3,4 en 2-i bevatten?

Antwoord:

#P (X) = aq (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) # met #aq in RR #.

Uitleg:

Laat # P # wees het polynoom waar je het over hebt. Ik neem aan #P! = 0 # of het zou triviaal zijn.

P heeft echte coëfficiënten, dus # P (alpha) = 0 => P (baralpha) = 0 #. Het betekent dat er een andere root is voor P, #bar (2-i) = 2 + i #, vandaar deze vorm voor # P #:

#P (X) = a (X + 3) ^ (a_1) * (X-4) ^ (a_2) * (X - 2 + i) ^ (a_3) * (X-2-i) ^ (a_4) * Q (X) # met #a_j in NN #, #Q in RR X # en #a in RR # omdat we willen # P # om echte coëfficiënten te hebben.

We willen de mate van # P # om zo klein mogelijk te zijn. Als #R (X) = a (X + 3) ^ (a_1) (X-4) ^ (a_2) (X - 2 + i) ^ (a_3) (X-2-i) ^ (a_4) # dan #eg (P) = deg (R) + deg (Q) = som (a_j + 1) + deg (Q) #. #Q! = 0 # zo #deg (Q)> = 0 #. Als we willen # P # om de kleinste graad mogelijk te hebben, dan #deg (Q) = 0 # (# Q # is gewoon een reëel getal # Q #), Vandaar #deg (P) = deg (R) # en hier kunnen we dat zelfs zeggen #P = R #. #deg (P) # zal zo klein mogelijk zijn als elk #a_j = 0 #. Zo #deg (P) = 4 #.

Dus voor nu, #P (X) = a (X + 3) (X-4) (X - 2 + i) (X-2-i) q #. Laten we dat ontwikkelen.

#P (X) = aq (X ^ 2 - X - 12) (X ^ 2-4X + 5) in RR X #. Dus deze uitdrukking is de beste # P # we kunnen vinden met die voorwaarden!