Antwoord:
De serie convergeert absoluut.
Uitleg:
Merk eerst op dat:
en
Daarom als
Dit is een p-serie met
Daarom komt de serie absoluut samen:
Zie http://math.oregonstate.edu/home/programs/undergrad/CalculusQuestStudyGuides/SandS/SeriesTests/p-series.html voor meer informatie.
Gebruik je de definitie van convergentie, hoe bewijs je dat de sequentie {5+ (1 / n)} convergeert van n = 1 naar oneindig?
Laat: a_n = 5 + 1 / n en dan voor elke m, n in NN met n> m: abs (a_m-a_n) = abs ((5 + 1 / m) - (5 + 1 / n)) abs (a_m -a_n) = abs (5 + 1 / m -5-1 / n) abs (a_m-a_n) = abs (1 / m -1 / n) als n> m => 1 / n <1 / m: abs (a_m-a_n) = 1 / m -1 / n en als 1 / n> 0: abs (a_m-a_n) <1 / m. Gegeven een reëel getal epsilon> 0, kies dan een geheel getal N> 1 / epsilon. Voor elke gehele getallen m, n> N hebben we: abs (a_m-a_n) <1 / N abs (a_m-a_n) <epsilon die de conditie van Cauchy voor de convergentie van een sequentie bewijst.
Hoe gebruik je de integrale test om convergentie of divergentie van de reeks te bepalen: som n e ^ -n van n = 1 tot oneindig?
Neem de integrale int_1 ^ ooxe ^ -xdx, die eindig is, en merk op dat het sum_ (n = 2) ^ oo n e ^ (- n) begrenst. Daarom is het convergent, dus sum_ (n = 1) ^ oo n e ^ (- n) is eveneens. De formele verklaring van de integrale test stelt dat als fin [0, oo) rightarrowRR een monotoon afnemende functie is die niet-negatief is. Dan is de som sum_ (n = 0) ^ oof (n) convergent als en alleen als "sup" _ (N> 0) int_0 ^ Nf (x) dx eindig is. (Tau, Terence, analyse I, tweede druk, boekagentschap van Hindustan, 2009). Deze uitspraak lijkt misschien een beetje technisch, maar het idee is het volgende. Als we in dit geval de
Hoe vind ik de convergentie of divergentie van deze serie? som van 1 tot oneindig van 1 / n ^ ln
Het convergeert Denk aan de reeks sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ p, waarbij p> 1. Door de p-test komt deze reeks samen. Nu, 1 / n ^ In n <1 / n ^ p voor alle groot genoeg n, zolang p een eindige waarde is. Dus, door de directe vergelijkingstest, komt sum_ (n = 1) ^ oo1 / n ^ ln n samen. In feite is de waarde ongeveer gelijk aan 2.2381813.