Mevr. Fox vroeg haar klas is de som van 4,2 en vierkantswortel van 2 rationeel of irrationeel? Patrick antwoordde dat de som irrationeel zou zijn. Geef aan of Patrick correct of incorrect is. Rechtvaardig uw redenering.

Antwoord:

De som # 4.2 + sqrt2 # is irrationeel; het erft de nooit herhaalde decimale expansie-eigenschap van #sqrt 2 #.

Uitleg:

Een irrationeel nummer is een getal dat niet kan worden uitgedrukt als een verhouding van twee gehele getallen. Als een getal irrationeel is, verloopt de decimale uitbreiding voor altijd zonder een patroon en vice versa.

Dat weten we al #sqrt 2 # is irrationeel. De decimale expansie begint:

#sqrt 2 = 1.414213562373095 … #

Het nummer #4.2# is rationeel; het kan worden uitgedrukt als #42/10.# Wanneer we 4.2 toevoegen aan de decimale uitbreiding van #sqrt 2 #, we krijgen:

#sqrt 2 + 4.2 = kleur (wit) + 1.414213562373095 … #

#color (wit) (sqrt 2) kleur (wit) + kleur (wit) (4.2 =) + 4.2 #

#color (wit) (sqrt 2) kleur (wit) + kleur (wit) (4.2 =) balk (kleur (wit) (+) 5.614213562373095 …) #

Het is gemakkelijk te zien dat deze som ook niet eindigt, noch een herhalend patroon heeft, dus het is ook irrationeel.

Over het algemeen zal de som van een rationeel getal en een irrationeel aantal altijd irrationeel zijn; het argument is vergelijkbaar met hierboven.

Antwoord:

#color (blauw) ("juiste") #

Uitleg:

Als we beginnen met te zeggen dat de som rationeel is: alle rationale getallen kunnen worden geschreven als het quotiënt van twee gehele getallen # A / bcolor (wit) (88) # #b! = 0 #

#4.2=21/5#

# 21/5 + sqrt (2) = a / b #

#sqrt (2) = a / b-21/5 #

#sqrt (2) = (5a-21b) / (5b) #

Het product van twee gehele getallen is een geheel getal:

Het verschil van twee gehele getallen is een geheel getal:

Zo:

# 5a-21b # is een geheel getal.

# 5b # is een geheel getal.

Vandaar:

# (5a-21b) / (5b) # is rationeel.

Maar dat weten we #sqrt (2) # is irrationeel, dus dit is een tegenspraak vanuit onze veronderstelling dat de som rationeel was, daarom is de som van een irrationeel getal en een rationeel getal altijd irrationeel.