Wat is de absolute extrema van f (x) = x ^ (1/3) * (20-x) in [0,20]?

Antwoord:

Het absolute minimum is #0#, wat voorkomt bij #x = 0 # en # X = 20 #.

Het absolute maximum is # 15root (3) 5 #, wat voorkomt bij #x = 5 #.

Uitleg:

De mogelijke punten die absoluut extrema kunnen zijn, zijn:

Keerpunten; d.w.z. punten waar # dy / dx = 0 #

De eindpunten van het interval

We hebben al onze eindpunten (#0# en #20#), dus laten we onze keerpunten vinden:

#f '(x) = 0 #

# d / dx (x ^ (1/3) (20-x)) = 0 #

# 1 / 3x ^ (- 2/3) (20-x) - x ^ (1/3) = 0 #

# (20-x) / (3x ^ (2/3)) = x ^ (1/3) #

# (20-x) / (3x) = 1 #

# 20-x = 3x #

# 20 = 4x #

# 5 = x #

Er is dus een keerpunt waar #x = 5 #. Dit betekent dat de 3 mogelijke punten die extrema kunnen zijn, zijn:

#x = 0 "" "" x = 5 "" "" x = 20 #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Laten we deze waarden aansluiten op #f (x) #:

#f (0) = (0) ^ (1/3) (20 - 0) = 0 * 20 = kleur (rood) 0 #

#f (5) = (5) ^ (1/3) (20 - 5) = wortel (3) (5) * 15 = kleur (rood) (15root (3) 5 #

#f (20) = (20) ^ (1/3) (20-20) = wortel (3) (20) * 0 = kleur (rood) 0 #

Daarom, op het interval #x in 0, 20 #:

Het absolute minimum is #color (rood) 0 #, wat voorkomt bij #x = 0 # en # X = 20 #.

Het absolute maximum is #color (rood) (15root (3) 5) #, wat voorkomt bij #x = 5 #.

Definitieve antwoord