Antwoord:
# 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Uitleg:
Eerst laten # T = cosx #.
# Y = t ^ 2 + 7t + 8 #
Laten we nu het vierkant vervolledigen om dit te factoreren.
# = Y (t ^ 2 + 7t) + 8 #
Let daar op # (T + 7/2) ^ 2 = (t + 7/2) (t + 7/2) #
# = T ^ 2 + 7 / 2t + 7 / 2t + (7/2) ^ 2 #
# = T ^ 2 + 7t + 49/4 #
Dus we willen toevoegen #49/4# in de uitdrukking en trek het weer weg.
# = Y (t ^ 2 + 7t + 49/4) + 8-49 / 4 #
Let daar op #8-49/4=32/4-49/4=-17/4#.
# Y = (t + 7/2) ^ 2-17 / 4 #
Let op dat # 17/4 = (sqrt17 / 2) ^ 2 #.
# Y = (t + 7/2) ^ 2- (sqrt17 / 2) ^ 2 #
Nu hebben we een verschil in vierkanten en kunnen we het als één factor beschouwen.
#Y = (t + 7/2) + sqrt17 / 2 (t + 7/2) -sqrt17 / 2 #
# Y = (cosx + (7 + sqrt17) / 2) (cosx + (7-sqrt17) / 2) #
Als we willen, kunnen we een gemeenschappelijke factor van brengen #1/2# uit elk deel:
# Y = 1/4 (2cosx + 7 + sqrt17) (2cosx + 7-sqrt17) #
Antwoord:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
Uitleg:
laat # u = cos (x) #
De vraag wordt dan:
Factor # U ^ 2 + 7u + 8 # je zou hier alleen een kwadratische formule kunnen gebruiken, d.w.z. # u = frac {-b pm sqrt (b ^ 2-4ac)} {2a} #
of je zou het op de lange weg kunnen doen (wat niet beter is dan de formule, in feite is het een van de methoden die wordt gebruikt om de kwadratische formule te formuleren):
vind twee wortels, # r_1 # en # r_2 # zoals dat # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
Uitbreiden: # (u-r_1) (u - r_2) = u ^ 2 - r_1u - r_2u + (r_1) (r_2) #
# = u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) #
Dus: # u ^ 2 - (r_1 + r_2) u + (r_1) (r_2) = u ^ 2 + 7u + 8 #
en daarom: # - (r_1 + r_2) = 7 # en # (r_1) (r_2) = 8 #
# (r_1 + r_2) = -7, (r_1 + r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 49 #
# (r_1) ^ 2 + 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 - 4 (r_1) (r_2) = 49 - 4 (8) = 17 #
# (r_1) ^ 2 - 2 (r_1) (r_2) + (r_2) ^ 2 = 17 #
# (r_1-r_2) ^ 2 = 17 #
# r_1-r_2 = sqrt (17) #
# frac {r_1 + r_2 + r_1-r_2} {2} = r_1 = frac {-7 + sqrt (17)} {2} #
# frac {r_1 + r_2 - (r_1-r_2)} {2} = r_2 = frac {-7 - sqrt (17)} {2} #
Dus de gefactureerde vorm is # (u + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (u + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
sub # u = cos (x) # te krijgen:
# (cos (x) + frac {7 + sqrt (17)} {2}) (cos (x) + frac {7 - sqrt (17)} {2}) #
