Wat is het bereik van een kwadratische functie?

Antwoord:

Het bereik van #f (x) = ax ^ 2 + bx + c # is:

# {(c-b ^ 2 / (4a), oo) "if" a> 0), ((-oo, c-b ^ 2 / (4a) "if" a <0):} #

Uitleg:

Gegeven een kwadratische functie:

#f (x) = ax ^ 2 + bx + c "" # met #a! = 0 #

We kunnen het plein voltooien om te vinden:

#f (x) = a (x + b / (2a)) ^ 2+ (c-b ^ 2 / (4a)) #

Voor echte waarden van #X# de kwadratische term # (X + b / (2a)) ^ 2 # is niet-negatief en neemt de minimumwaarde ervan #0# wanneer #x = -b / (2a) #.

Dan:

#f (-b / (2a)) = c - b ^ 2 / (4a) #

Als #a> 0 # dan is dit de minimaal mogelijke waarde van #f (x) # en het bereik van #f (x) # is # c-b ^ 2 / (4a), oo) #

Als #a <0 # dan is dit de maximaal mogelijke waarde van #f (x) # en het bereik van #f (x) # is # (- oo, c-b ^ 2 / (4a) #

Een andere manier om hiernaar te kijken, is te laten #y = f (x) # en kijk of er een oplossing voor is #X# aangaande met # Y #.

Gegeven:

#y = ax ^ 2 + bx + c #

Aftrekken # Y # van beide kanten om te vinden:

# ax ^ 2 + bx + (c-y) = 0 #

De discriminant #Delta# van deze kwadratische vergelijking is:

#Delta = b ^ 2-4a (c-y) = (b ^ 2-4ac) + 4 dagen #

Om echte oplossingen te hebben, hebben we dat nodig #Delta> = 0 # en dus:

# (b ^ 2-4ac) + 4 dagen> = 0 #

Toevoegen # 4ac-b ^ 2 # aan beide kanten te vinden:

# 4dag> = 4ac-b ^ 2 #

Als #a> 0 # dan kunnen we beide kanten eenvoudig verdelen # 4a # te krijgen:

#y> = c-b ^ 2 / (4a) #

Als #a <0 # dan kunnen we beide kanten verdelen # 4a # en de ongelijkheid omkeren om te krijgen:

#y <= c-b ^ 2 / (4a) #