Vind alle kritieke punten voor deze functie?

Antwoord:

#(0,-2)# is een zadelpunt

#(-5,3)# is een lokaal minimum

Uitleg:

Wij zijn gegeven #G (x, y) = 3x ^ 2 + 6xy + 2y ^ 3 + 12x-24y #

Eerst moeten we de punten vinden waar # (Delg) / (delx) # en # (Delg) / (Dely) # allebei gelijk 0.

# (Delg) / (delx) = 6x + 6y + 12 #

# (Delg) / (dely) = 6x + 6y ^ 2-24 #

# 6 (x + y + 2) = 0 #

# 6 (x + y ^ 2-4) = 0 #

# X + y + 2 = 0 #

# X = -y-2 #

# -Y-2 + y ^ 2-4 = 0 #

# ^ Y 2-y-6 = 0 #

# (Y-3) (y + 2) = 0 #

# y = 3 of -2 #

# X = -3-2 = -5 #

# X = 2-2 = 0 #

Kritieke punten vinden plaats op #(0,-2)# en #(-5,3)#

Nu voor het classificeren:

De bepalende factor #f (x, y) # is gegeven door #D (x, y) = (del ^ 2 g) / (delx ^ 2) (del ^ 2 g) / (dely ^ 2) - ((del ^ 2 g) / (delxy)) ^ 2 #

# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = del / (delx) ((delg) / (delx)) = del / (delx) (6x + 6y + 12) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (dely ^ 2) = del / (dely) ((delg) / (dely)) = del / (dely) (6x + 6y ^ 2-24) = 12y #

# (Del ^ 2 g) / (delxy) = del / (delx) ((delg) / (dely)) = del / (delx) (6x + 6y ^ 2-24) = 6 #

# (Del ^ 2 g) / (delyx) = del / (dely) ((delg) / (delx)) = del / (dely) (6x + 6y + 12) = 6 #

#D (x, y) = 6 (12y) -36 #

#D (0, -2) = 72 (-2) = -36 -180 #

#D (-5,3) = 72 (3) -36 = 180 #

Sinds #D (0, -2) <0 #, #(0,-2)# is een zadelpunt.

En sindsdien #D (-5,3)> 0 en (del ^ 2g) / (delx ^ 2)> 0 #, #(-5,3)# is een lokaal minimum. (# (Del ^ 2 g) / (delx ^ 2) = 6 # dus we hoeven geen berekeningen te maken).